\documentstyle[epsf]{article}
\setlength{\textwidth}{18.2cm}
\setlength{\textheight}{25.cm}
\setlength{\topmargin}{-2.5cm}
\setlength{\evensidemargin}{-1.cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-1.cm}

\begin{document}
\baselineskip0.3cm
\pagestyle{plain}

\newcommand{\ua}{\uparrow}
\newcommand{\da}{\downarrow}
\newcommand{\ID}{\raisebox{-1.2ex}{"}}
\newcommand{\dddot}[1]{\buildrel\textstyle.\textstyle.\textstyle.
\over #1}
\newcommand{\e}{\begin{equation}} 
\newcommand{\ee}{\end{equation}} 
\newcommand{\bEQ}{\begin{eqnarray}} 
\newcommand{\eEQ}{\end{eqnarray}} 
\newcommand{\bOSZ}{\begin{array}} 
\newcommand{\eOSZ}{\end{array}} 
\newcommand{\bFL}{\begin{flushright}} 
\newcommand{\eFL}{\end{flushright}} 
\newcommand{\absz}[1]{\mbox{$\mid\!\!#1\!\!\mid$}}
\newcommand{\bfig}[2]{\begin{figure}[hbt] \nobreak \hbox to \textwidth {
                      \centerline{\leavevmode
                      \epsfxsize=#1 \epsffile{#2}
                      }} \nobreak 
                     }

\newcommand{\efig}{\end{figure}}
						
{\Large 
\begin{center}\bf A 29.\\
-- EGYBEN ELS\H O NEMZETK\"OZI -- \bigskip 
\\ {\Huge ORTVAY RUDOLF} \medskip \\
 FIZIKAI PROBL\'EMAMEGOLD\'O VERSENY \\
 FELADATAI\\
1998
\end{center}
}
\bigskip 
Az ELTE TTK Fizikus Di\'akk\"ore \'es a Magyar Fizikus Hallgat\'ok Egyes\"ulete
1998-ban is meghirdeti a hagyom\'anyos,
 imm\'ar 29-ik, ez\'uttal els\H o \'{\i}zben nemzetk\"ozi Ortvay Rudolf Fizikai 
Feladatmegold\'o Versenyt.
%\medskip
\begin{center}
{\bf Id\H opont: 1998. okt\'ober 30 -- november 9.}
%\medskip
\end{center}
Az Ortvay verseny r\'egi hagyom\'any az E\"otv\"os Lor\'and Tudom\'anyegyetemen. 
A hajdani versenyz\H ok k\"oz\"ul sokan m\'ar h\'{\i}res 
tud\'osok, egyetemi professzorok -- annak idej\'en az Ortvay-feladatok 
megold\'asa sor\'an mutatt\'ak meg oroszl\'ank\"orme\-iket.

A verseny 1998-ban el\H osz\"or -- de rem\'elj\"uk, nem utolj\'ara -- {\bf 
nemzetk\"ozi} lesz. 
El\H ozetes propagand\'ank hat\'as\'ara m\'aris t\"obb 
mint h\'usz orsz\'agb\'ol \'erkeztek \'erdekl\H od\H o levelek. Igy alkalom ad\'odik arra, 
hogy a k\"ul\"onb\"oz\H o orsz\'agok \'es k\"ul\"onb\"oz\H o 
egyetemek hallgat\'oi \"ossz\'em\'erhess\'ek tud\'asukat, \"otleteiket, feladatmegold\'o 
k\'epess\'eg\"uket \'es a rutinon t\'ulmutat\'o, a fel\-adatok 
m\'ely\'ere hatol\'o fizikai \'erz\'ek\"uket. B\'ar a d\'{\i}jaz\'as egy\'eni, egy ilyen sz\'eles 
k\"or\H u verseny egyben az anyaint\'ezm\'enyek, a 
versenyz\H ok tud\'as\'at \'es k\'epess\'egeit csiszol\'o egyetemek vet\'elked\'ese is.

Az Ortvay versenyen minden egyetemi hallgat\'o indulhat -- az \'ert\'ekel\'es \'es 
a d\'{\i}jaz\'as \'evfolyamonk\'ent t\"ort\'enik. A doktoranduszok k\"ul\"on kateg\'ori\'at 
alkotnak. A verseny egy\'eni: p\'aros vagy csoportosan \'{\i}rt dolgozatokat nem 
fogadunk el. K\'erj\"uk megadni a versenyz\H o egyetem\'et, szak\'at \'es \'evfolyam\'at. 
\'Aln\'ev vagy jelsz\'o nem haszn\'alhat\'o, minden versenyz\H o val\'odi n\'even indul.

A feladatok 1998.\ okt\'ober 30-\'an, p\'enteken, k\"oz\'ep-eur\'opai id\H o szerint 12 
\'or\'at\'ol magyar \'es angol nyelven, html \'es \LaTeX \,\, 
form\'atumban let\"olthet\H ok az Ortvay-verseny weblapj\'ar\'ol
\begin{center} 
{\bf http://ludens.elte.hu/ortvay}.
\end{center}
A {\it dgy@ludens.elte.hu} 
e-mail c\'{\i}mre megk\"uld\"ott el\H ozetes k\'er\'esre e-mailen is post\'azzuk a feladatokat. 
Budapesten emellett a feladatok -- ugyanett\H ol az 
id\H opontt\'ol -- nyomtatott form\'aban is \'atvehet\H ok a G\'olyav\'arban 
(H-1088 Budapest, M\'uzeum krt. 6-8.) \'es az ELTE L\'agym\'anyosi Fizika--K\'emia 
t\"ombj\'enek (H-1117 Budapest, P\'azm\'any P\'eter s\'et\'any 1/A)
f\"oldszinti t\'arsalg\'oj\'aban. A G\'olyav\'arban, a Hallgat\'oi Irod\'aban a k\'es\H obbiekben 
egy mesterp\'eld\'any \'all a f\'enym\'asolni kiv\'an\'ok rendelkez\'es\'ere. 

A BME-n, a JATE-n, a KLTE-n \'es sz\'amos k\"ulf\"oldi egyetemen helyi szervez\H ok 
int\'ezik a feladatok sokszoros\'{\i}t\'as\'at \'es kioszt\'as\'at. 

{\it Figyelem! A szervez\H ok minden igyekezete ellen\'ere is el\H ofordulhat, hogy 
egy-egy \'ertelemzavar\'o fogalmaz\'asi vagy g\'epel\'esi hiba marad a feladatok 
sz\"oveg\'eben. \'Erdemes ez\'ert a tov\'abbiakban is figyelni a fenti weblapot, 
illetve a g\'olyav\'ari \'es 
l\'agym\'anyosi hirdet\H ot\'abl\'at, ahol az esetleges jav\'{\i}t\'asokat, m\'odos\'{\i}t\'asokat 
azonnal k\"ozz\'etessz\"uk.}

A verseny feladatai az elm\'eleti fizika k\"ul\"onb\"oz\H o ter\"uleteir\H ol \'es a 
fizika alkalmaz\'asai k\"or\'eb\H ol sz\'armaznak. Egy \'evben \'altal\'aban 
30 -- 35 feladatot t\H uz\"unk ki. Ezek k\"ul\"onb\"oz\H o neh\'ezs\'egi fok\'uak, de minden 
hallgat\'o tal\'alhat \'evfolyam\'anak megfelel\H o feladatokat. Egy versenyz\H o 
maxim\'alisan 10 feladat megold\'as\'at adhatja be. Minden feladat megold\'as\'ara 
maxim\'alisan 100 pontot lehet kapni.

A feladatok megold\'as\'ahoz 
{\it b\'armilyen seg\'edeszk\"oz haszn\'alhat\'o}. K\"onyvre, foly\'oiratcikkre  hivatkozni 
lehet. 

{\it Minden feladat megold\'as\'at k\"ul\"on A4-es lap(ok)ra k\'erj\"uk 
le\'{\i}rni. 
Egy lapnak csak az egyik oldal\'ara \'{\i}rjunk vagy nyom\-tassunk! Ne 
\'{\i}rjunk 
ceruz\'aval vagy v\'ekony m\'asol\'opap\'{\i}rra} -- ezeket nem tudjuk 
elfaxolni a 
megold\'asok jav\'{\i}t\'oinak. Az ilyen dolgozatokat nem fogadjuk el. 

Ha a megold\'ashoz sz\'am\'{\i}t\'og\'epes program is tartozik, k\'erj\"uk \'{\i}r\'asban megadni a 
program r\'eszletes dokument\'aci\'oj\'at (milyen nyelven \'{\i}rodott, hogyan lehet 
elind\'{\i}tani, milyen param\'etereket lehet be\'all\'{\i}tani, melyik bet\H u mit 
jelent, hogyan kell a program k\'esz\'{\i}tette \'abr\'akat vagy t\'abl\'azatokat 
\'ertelmezni, stb.) A programokat floppylemezen lehet 
mell\'ekelni, vagy e-mailen lehet elk\"uldeni az al\'abb megadott c\'{\i}mre.

A megold\'asokat szem\'elyesen, post\'an, faxon vagy e-mailen 
(\LaTeX \,\, form\'atumban, vagy, ha
nincsenek benne k\'epletek, k\"oz\"ons\'eges elektronikus lev\'elben) lehet 
bek\"uldeni. 
\begin{center}
Szem\'elyesen a HALI-1-ben vagy a L\'agym\'anyosi \'Eszaki t\"obb 
f\"oldszintj\'en \\
Postac\'{\i}m: Fizikus Di\'akk\"or, D\'avid Gyula, \\
ELTE TTK Hallgat\'oi Iroda, G\'olyav\'ar, 
H-1088 Budapest, M\'uzeum krt. 6-8. \\ 
Faxsz\'am: D\'avid Gyula, 36/1/2662556 \\
E-mail c\'{\i}m: dgy@ludens.elte.hu. 
\end{center}
\begin{center}
{\bf Bead\'asi hat\'arid\H o: november 9. h\'etf\H o, k\"oz\'ep-eur\'opai id\H o szerint 12 \'ora.} 
\end{center}
A verseny d\'{\i}jaz\'asa \'evfolyamonk\'ent t\"ort\'enik, az \"osszpontsz\'am alapj\'an. 
A zs\"uri fenntartja a jogot, hogy egyes d\'{\i}jakat ne, megosztva vagy 
t\"obb p\'eld\'anyban adjon ki. A p\'enzjutalommal j\'ar\'o els\H o, m\'asodik \'es harmadik 
d\'{\i}jak mellett dics\'eretek, illetve egyes feladatok kival\'o megold\'as\'a\'ert 
k\"ul\"ond\'{\i}jak is oda\'{\i}t\'elhet\H ok. Ez\'ert m\'ar egy-k\'et 
feladat megold\'as\'at is \'erde\-mes 
beadni!

A verseny hagyom\'anyos szponzorai az ELTE TTK Hallgat\'oi Alap\'{\i}tv\'anya \'es az 
E\"otv\"os Lor\'and Fizikai T\'arsulat. 
Emellett id\'en r\'egi mec\'en\'asunk, Di\'osi Lajos 20 000 Ft k\"ul\"ond\'{\i}jat aj\'anlott fel. 
A legjobb eredm\'enyt el\'er\H o szegedi versenyz\H ot 
a Pro Physica Hallgat\'oi Alap\'{\i}tv\'any 5000 Ft k\"ul\"ond\'{\i}jjal jutalmazza. 
K\"osz\"onj\"uk az eddigi t\'amogat\'asokat -- \'es k\"osz\"onettel fogadjuk a 
tov\'abbiakat is.

A verseny eredm\'enyhirdet\'ese {\bf december 3-\'an} lesz, a hagyom\'anyos 
{\bf Fizikus Mikul\'assal} egybek\"otve. A pontos helysz\'{\i}nt 
k\'es\H obb k\"oz\"olj\"uk a verseny weblapj\'an. Az \"unnep\'elyes eredm\'enyhirdet\'est a 
feladatok megold\'as\'anak megvitat\'asa k\"oveti. Az egyes feladatok legjobb 
megold\'oit ezennel el\H ore felk\'erj\"uk, hogy ismertess\'ek megold\'asaikat. 
(A verseny eg\'esz F\"oldre kiterjedt volta ellen\'ere ez a felk\'er\'es 
\'ertelemszer\H uen csak a hazai versenyz\H okre vonatkozik.) A r\'eszletes 
eredm\'eny ezut\'an megtekinthet\H o lesz a 
verseny weblapj\'an. A d\'{\i}jazott versenyz\H oket e-mailben \'ertes\'{\i}tj\"uk, az 
okleveleket \'es a p\'enzjutalmakat post\'an k\"uldj\"uk el. 

A verseny feladatait \'es megold\'asaikat -- az egyes feladatok legjobb 
megold\'oinak sz\"ovegez\'es\'eben (melyre \H oket ezennel felk\'erj\"uk) -- 
angol nyelv\H u kiadv\'anyban szeretn\'enk megjelentetni. Ezt a kiadv\'anyt a 
fizikushallgat\'ok nemzetk\"ozi szer\-vezete, az IAPS, valamint a verseny r\'esztvev\H oi 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel vil\'agszerte terjeszteni k\'{\i}v\'anjuk. Rem\'elj\"uk, ez m\'eg jobban 
hozz\'aj\'arul a verseny nemzetk\"oziv\'e v\'al\'as\'ahoz.

\medskip
\noindent Sikeres versenyz\'est, tartalmas \'es hasznos fejt\"or\'est k\'{\i}v\'anunk minden 
versenyz\H onek!
								
\bFL 
A verseny szervez\H oi nev\'eben \\ 
\medskip
D\'avid Gyula \\
ELTE TTK Fizikus Di\'akk\"or \\
dgy@ludens.elte.hu
\eFL

\vspace*{.5cm}

\begin{enumerate}

\item A bor erjed\'essel k\'esz\"ul a sz\H ol\H ob\H ol. Ennek 
sor\'an h\H o keletkezik. 
\\
a) H\'any fokosra melegszik fel egy 500 literes
hord\'o a k\"ul\"onf\'ele borfajt\'ak eset\'en?
\\
b) Melyek a legfontosabb
param\'eterek, amik meghat\'arozz\'ak ezt a h\H om\'ers\'ekletet? 
\\
c) Az erjeszt\H o bakt\'eriumok egy bizonyos h\H om\'ers\'eklet felett
elpusztulnak. Legfeljebb mekkora m\'eret\H u lehet az a hord\'o, amiben
minden\"utt forr\'asban marad a must? Hogyan f\"ugg ez a m\'eret a
k\"uls\H o h\H om\'ers\'eklett\H ol?

\bFL
(Horv\'ath Anna)
\eFL


\item Ha k\'et p\'arhuzamosan \'all\'{\i}tott t\"uk\"or k\"oz\'e n\'ez\"unk,
k\'epek v\'egtelennnek t\H un\H o sorozat\'at l\'atjuk. A t\"uk\"or
v\'eges m\'erete miatt azonban csak v\'eges sz\'am\'u k\'ep l\'athat\'o.
\\
a) Hogyan f\"ugg a l\'athat\'o k\'epek sz\'ama a t\"uk\"or
m\'eret\'et\H ol, alakj\'at\'ol?
\\
b) Vizsg\'aljunk t\"obb k\"ul\"onf\'ele m\'odszert, amivel a p\'arhuzamos
t\"ukr\"okben l\'athat\'o k\'epeket megfigyelhetj\"uk! (Csak
k\'{\i}s\'erletileg megval\'os\'{\i}that\'o eseteket diszkut\'aljunk!)

\bFL
(Horv\'ath Anna)
\eFL

\item T\'eli reggeleken az aut\'ok ablaka sokszor csak a Nap fel\H oli 
oldalon van befagyva.
Mi\'ert? Adjunk kvantitat\'{\i}v magyar\'azatot!

\bFL
(Bene Gyula)
\eFL

\item
Egy falt\'ol $a$ t\'avols\'agban elhelyezett csukl\'os talpon 
r\"ogz\'{\i}tj\"uk egy $l > a$ hossz\'us\'ag\'u sepr\H uny\'el
als\'o v\'eg\'et.

A ny\'el fels\H o v\'ege a falnak t\'amaszkodik. D\"onts\"uk
most kiss\'e oldalt a sepr\H unyelet: a s\'url\'od\'as
k\"ovetkezt\'eben egy ideig m\'eg egyens\'ulyban maradhat.
Mekkora az a kritikus sz\"og, amelyn\'el m\'ar megcs\'uszik
a sepr\H uny\'el?

Indítsuk el a seprûnyelet a legmagasabb helyzetbõl egy kis oldalirányú
lökéssel! Írjuk le a mozgást!

\bFL
(Gn\"adig P\'eter)
\eFL

\item 
Adott m\'eret\H u, $\lambda$ \'es $\mu$ rugalmass\'agi \'alland\'okkal 
jellemezhet\H o t\'egl\'akb\'ol tornyot \'ep\'{\i}t\"unk. 
Milyen magas torony \'all m\'eg stabilan?


\bFL
(Tichy G\'eza)
\eFL

\item Rugalmass\'agtanban az $u_i$ elmozdul\'asvektorb\'ol sz\'armaztatott 
$\varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}(\partial_i u_j + \partial_j u_i)$ 
deform\'aci\'os tenzorra 
\'erv\'enyes az al\'abbi kompatibil\'{\i}t\'asi felt\'etel (a 
k\'epletben $
\epsilon_{ijk}$ a Levi--Civita-f\'ele teljesen antiszimmetrikus 
egys\'egtenzort jel\"oli):
$$
\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmp}\partial_j \partial_m \varepsilon_{kp}=0.
$$ 
\'All\'{\i}tsuk el\H o a deform\'aci\'os tenzorb\'ol az elmozdul\'asvektort!

\bFL
(Tichy G\'eza)
\eFL

\item   
A hall\'as finoms\'ag\'at meghat\'aroz\'o egyik mechanikai t\'enyez\H o 
a dobh\'artya alakja. Magyar\'azzuk meg, mi\'ert alkal\-masabb a
szab\'alyos alak\'u (k\"or, ellipszis) dobh\'artya a finom hall\'asra, mint a
szab\'alytalan! (Megjegyz\'es: a hall\'as finoms\'ag\'an azt \'ertj\"uk, hogy mennyire
k\'epes valaki megk\"ul\"onb\"oztetni k\'et, egym\'ashoz k\"ozeli frekvenci\'aj\'u hangot).

\bFL
(Horv\'ath Anna)
\eFL

\item 
       Az emberi v\'er nem k\'epes arra, hogy fizikailag oldott 
\'allapotban elegend\H o mennyis\'eg\H u oxig\'ent sz\'all\'{\i}tson. 
Ez\'ert is vannak 
v\"or\"osv\'ertestjeink (VVT), melyek ezt a feladatot el tudj\'ak v\'egezni. 
De vajon mennyibe is \ID ker\"ulhet" ez nek\"unk? 
Mennyi plusz energi\'at ford\'{\i}t a VVT-k
sz\'all\'{\i}t\'as\'ara egy \'atlagos napj\'an egy \'atlagos ember 
ahhoz a hipotetikus  esethez k\'epest, amikor -- ugyanakkora  
\"osszt\'erfogat\'u v\'er mellett --
nem lenne sz\"uks\'ege 
VVT-kre? 

N\'eh\'any figyelembe veend\H o szempont: a VVT-ket \'at kell tuszkolni a 
kapill\'arisokon (hiszen azok \'atm\'er\H oje kisebb, mint a VVT-k\'e);
a v\'er gyorsabban 
\'aramlik, mint a VVT-k; a  VVT \'es a v\'er s\H ur\H us\'ege elt\'er\H o,
 \'{\i}gy a neh\'ezs\'egi er\H o 
miatt  t\"obbletenergia sz\"uks\'eges a VVT mozgat\'as\'ahoz.

\bFL
(Nagy Gy\"orgy) 
\eFL


\item Egy kir\'andul\'as alkalm\'aval elkapott minket az es\H o.  Egy 
\'utbaes\H o pince
eresze al\'ol n\'ezegett\"uk a rem\'enytelen id\H ot \'es az eresz alj\'an
\"ossze-\"osszegy\"ul\H o v\'{\i}zcseppeket, amelyek n\"ovekedv\'en 
elindultak az eresz
alj\'an a lefoly\'o fel\'e, de \'utk\"ozben megh\'{\i}zva lecs\"oppentek. 
Vizsg\'aljuk meg a 
csepp kialakul\'as\'ahoz vezet\H o instabilit\'ast! Adjuk meg a csepp 
hely-id\H o f\"uggv\'eny\'et a 
lecs\"oppen\'es hely\'eig! Utol\'erhet-e egy csepp egy m\'asikat?

\bFL
(T\"or\"ok J\'anos)
\eFL

\item Egy pipett\'at tartunk f\"ugg\H olegesen, sz\'aj\'aval lefel\'e.
A pipett\'ab\'ol folyad\'ek \'aramlik ki \'alland\'o sebess\'eggel. 
Milyen felt\'etelek mellett
alakulnak ki cseppek a pipetta sz\'aj\'an\'al? 
Ha teljes\"ulnek ezek a felt\'etelek, akkor hat\'arozzuk meg
a cseppek alakj\'at az id\H o f\"uggv\'eny\'eben!

\bFL
(Z\'en\'o Farkas) 
\eFL

\item Ha f\"ugg\H oleges (\"uveg)cs\H obe sz\'araz homokot t\"olt\"unk, a lefel\'e \'araml\'o
anyagban s\H ur\H us\'eghull\'amok indulnak el f\"olfel\'e. (\'Erdemes kipr\'ob\'alni!) 
A jelens\'eg hasonl\'{\i}t a k\"ozleked\'esi torl\'od\'asok terjed\'es\'ehez.
Mi a magyar\'azata? Mit\H ol f\"ugg a hull\'amok sebess\'ege?


\bFL
(Kert\'esz J\'anos)
\eFL


\item L. Niven Gy\H ur\H uvil\'ag c\'{\i}m\H u fantasztikus 
reg\'eny\'eben -- egy\'eb \'erdekes technikai \"otletek 
mellett --  eml\'{\i}t\'es t\"ort\'enik a k\"ovetkez\H o szerkezetr\H ol is: 
egy csillag k\"or\"uli k\"or ment\'en 
egyenletes t\'erk\"oz\"okben k\"orp\'aly\'ara \'all\'{\i}tanak igen nagy 
sz\'am\'u egyforma 
mesters\'eges bolyg\'ot. Az objektumokat a k\"or ment\'en ny\'ujthatatlan 
l\'anccal 
k\"otik \"ossze, majd a rendszert rak\'et\'akkal felp\"orgetik az adott 
sug\'arhoz tartoz\'o orbit\'alis 
sz\"ogsebess\'eg t\"obbsz\"or\"os\'ere. (Hogy mire j\'o ez az eg\'esz, 
az kider\"ul a reg\'enyb\H ol.) 

Vizsg\'aljuk meg a rendszer stabilit\'as\'at, \'es hat\'arozzuk meg a 
k\"or ment\'en terjed\H o hull\'amok 
diszperzi\'os rel\'aci\'oj\'at longitudin\'alis, radi\'alis, illetve a 
p\'alya s\'{\i}kj\'ara mer\H oleges 
perturb\'aci\'ok eset\'en!

\bFL 
(D\'avid Gyula)
\eFL 

\item
K\'et egyforma szigetel\H o korongot azonos mennyis\'eg\H u 
pozit\'{\i}v t\"olt\'essel l\'atunk el. K\"ozel\'{\i}ts\"uk egym\'ashoz 
a k\'et p\'arhuzamos korongot! Mekkora er\H o kell ehhez?
V\'azoljuk fel a k\'et korong k\"oz\"ott kialakul\'o elektromos
teret!

\bFL
(Radnai Gyula -- Gn\"adig P\'eter)
\eFL

\item Milyen alak\'ura hajl\'{\i}tsunk \"ossze egy adott szigetelt
r\'ezhuzalt, hogy a lehet\H o legnagyobb legyen az indukt\'{\i}vit\'asa?
Legyen az $l=$ 5 m hossz\'u homog\'en r\'ezhuzal keresztmetszete $r=$ 0,4 mm
sugar\'u k\"or, a rajta l\'ev\H o szigetel\H o r\'eteg vastags\'aga 
$s=$ 0,1 mm. Mekkora
lesz ennek a szigetelt huzalnak a maxim\'alis indukt\'{\i}vit\'asa?
(Ferrom\'agneses anyag nincs a k\"ozelben.)

Bemeleg\'{\i}t\'es\"ul hat\'arozzuk meg e huzalb\'ol hajl\'{\i}tott k\"or, 
illetve n\'egyzet alak\'u hurok indukt\'{\i}vit\'as\'anak ar\'any\'at!

\bFL
(Radnai Gyula)
\eFL

\newpage

\item Tegy\"uk fel, hogy az elektrom\'agneses n\'egyespotenci\'al ($A^i$) \'es a 
negyes\'aram-s\H ur\H us\'eg ($j^i$) komponensei nem val\'os, hanem a) komplex; 
b)  kvaterni\'o  \'ert\'ekeket vehetnek fel!
Konstru\'aljuk meg a Lorentz-invari\'ans val\'os hat\'asintegr\'alt, \'es vezess\"uk le 
a t\'eregyenleteket!
\ID Ford\'{\i}tsuk le" a hiper-Maxwell-egyenleteket val\'os h\'armasvektor-mez\H okre 
fel\'{\i}rt parci\'alis differenci\'alegyenlet-rendszerre, \'es keress\"unk meg n\'eh\'any 
\'erdekes megold\'ast (\"otletek: s\'{\i}khull\'am, mono\-p\'o\-lus, Green-f\"uggv\'eny)!
Milyen \'uj, a szok\'asos elm\'eletben nem szerepl\H o szimmetri\'ai vannak az \'uj 
elm\'eletnek? Melyek a megfelel\H o megmarad\'asi t\'etelek?
Milyen val\'os\'agos jelens\'egek modellez\'es\'ere lehetne felhaszn\'alni ezt a 
(hiper)komplex elektrodinamik\'at? 
Egesz\'{\i}ts\"uk ki  a hat\'asintegr\'alt t\"omegtaggal is, \'es vizsg\'aljuk meg ennek 
k\"ovetkezm\'enyeit!  


\bFL
(D\'avid Gyula)
\eFL

\item  Az els\H o, \'es egyben utols\'o Forma-42 fotonrak\'eta-versenyt 2442-ben 
rendezt\'ek meg a 
vadreg\'enyes Minkowski-t\'eren, mindj\'art a Tej\'ut legsz\'els\H o 
spir\'alkarjain t\'ul, kint a nagy 
semmiben. Itt kellett tartani a versenyt, mert az \H UrKRESZ meglehet\H osen 
szigor\'u: 
rendelkez\'esei szerint a fotonrak\'et\'ak semmilyen k\"or\"ulm\'enyek 
k\"oz\"ott sem k\"ozel\'{\i}thetik 
meg egym\'ast 1000 km-n\'el jobban. Sz\"uks\'eg volt teh\'at a helyre! 
A Forma-42 
versenyen r\'eszt vev\H o rak\'et\'ak 1 km hossz\'u, 10 m \'atm\'er\H oj\H u 
forg\'asellipszoidok. (A 
hatalmas test 42 \'evnyi szakadatlan \"uzemre elegend\H o anamezont, az 
antianyagn\'al is 
hat\'ekonyabb \"uzemanyagot rejt mag\'aban.) Az orrukon \'es tatjukon 
elhelyezett 
poz\'{\i}ci\'ojelz\H o l\'amp\'ak a Haj\'oz\'asi Szab\'alyzatnak 
megfelel\H oen m\'asodpercenk\'ent 
bocs\'atanak ki egy z\"old, illetve v\"or\"os f\'enyjelet. Bernie Ecclestar, 
a f\H oszervez\H o a 
sportszer\H us\'eg \'erdek\'eben \'ugy rendelkezett, hogy valamennyi 
versenyz\H o \H urhaj\'oj\'at 
egyforma hajt\'om\H uvel szerelj\'ek fel (de ezt persze nem k\"ot\"ott\'ek a 
k\"oz\"ons\'eg orr\'ara). Ez a \ID Mintha otthon lenn\'el" 
t\'{\i}pus\'u fotonmotor 
pontosan 1 $g$-nyi saj\'atgyorsul\'ast szolg\'altat az \H urhaj\'onak, 
\'{\i}gy a pil\'ota val\'oban \'ugy \'erzi 
mag\'at, mintha otthon \"ulne (a j\'at\'ekteremben). Sajn\'alatos m\H uszaki 
hib\'ak miatt a 42 
indul\'ob\'ol negyvennek vissza kellett l\'epnie. A megmaradt k\'et rak\'eta 
versenye kiss\'e 
unalmasra sikeredett: mintegy sz\'azezer km t\'avols\'agban egym\'as mellett 
lebegve 
egyszerre indultak el a startvonalra mer\H oleges ir\'anyba, azt\'an -- 
l\'ev\'en t\"ok\'eletesen 
egyforma szerkezet\H uek -- egym\'assal p\'arhuzamosan, v\'egig egyenes 
vonalban \'es 
azonos gyorsul\'assal futva, a t\"ok\'eletes szimmetria jegy\'eben 
d\"ontetlen eredm\'enyt 
\'ertek el. A n\'ez\H ok\"oz\"ons\'eg persze nem sokat l\'atott az 
elsz\'aguld\'o rak\'et\'akb\'ol -- m\'eg 
szerencse, hogy a konkurrens tv-t\'arsas\'agok kamer\'akat \'es 
robottud\'os\'{\i}t\'okat 
helyeztek el az egyik, illetve m\'asik rak\'eta fed\'elzet\'en. Az 
automata kamer\'ak a m\'asik 
versenyz\H o rak\'et\'ara ir\'anyultak -- mi m\'ast is n\'ezhettek volna? 
--, a robotriporterek pedig 
izgatottan k\"ovett\'ek a kamera tart\'oszerkezet\'enek ak\'armilyen 
csek\'ely elfordul\'as\'at is, 
mert ebb\H ol (meg persze a m\'asik rak\'eta l\'atsz\'o 
sz\"og\'atm\'er\H oj\'enek \'es orient\'aci\'oj\'anak 
v\'altoz\'as\'ab\'ol) pr\'ob\'altak k\"ovetkeztetni a verseny pillanatnyi 
\'all\'as\'ara. \'Igy azt\'an el\'eg 
izgalmas virtu\'alis verseny kerekedett ki a tv-k\'eperny\"ok\"on. Amikor 
azt\'an a m\'asodik 
futam sor\'an az egyik rak\'eta a startn\'al udvariasan sz\'azezer km 
el\H onyt adott a 
m\'asiknak, \'es \'{\i}gy pontosan egyszerre indulva, pontosan egym\'as 
nyom\'aban futott\'ak 
v\'egig a ny\'{\i}legyenes kozmikus p\'aly\'at, a k\'et \H urhaj\'o 
fed\'elzet\'en tart\'ozkod\'o 
robotriporterek val\'os\'agos ext\'azisba esve k\"ozvet\'{\i}tett\'ek a 
kamer\'aik \'altal l\'atott, 
meglehet\H osen furcsa versenyt.

Sz\'am\'{\i}tsuk ki/\'{\i}rjuk le/rajzoljuk le, mit l\'attak a kamer\'ak az 
els\H o futam alatt, majd a 
m\'asodik futamban az el\"ol, illetve a h\'atul halad\'o \H urhaj\'ob\'ol 
n\'ezve! Hogy v\'altozott a 
m\'asik rak\'eta t\'avols\'aga, ir\'anya, orient\'aci\'oja, sz\"ogm\'erete, 
jelz\H of\'enyeinek sz\'{\i}ne, 
f\'enyess\'ege? P\'otk\'erd\'es: hogyan, mikor \'es mi\'ert \'ert v\'eget 
a verseny?

\bFL 
(D\'avid Gyula)
\eFL 


\item A Forma-42 versenyen r\'eszt vev\H o k\'et rak\'eta pil\'ot\'ai 
elhat\'arozz\'ak, hogy megvizsg\'alj\'ak 
Einstein h\'{\i}res r\'egi para\-doxon\-j\'at a (kilo)m\'eterrudak 
r\"ovid\"ul\'es\'er\H ol. Ez\'ert a k\'et, egym\'as 
m\"og\"ott lebeg\H o \H urhaj\'ot \"osszek\"otik egy 1 km hossz\'u r\'uddal. 
Egy el\H ore r\"ogz\'{\i}tett 
pillanatban egyszerre bekapcsolj\'ak mindk\'et rak\'eta hajt\'om\H uv\'et, 
majd 1 m\'asodpercnyi 
m\H uk\"od\'es ut\'an kikapcsolj\'ak. (A gyors\'{\i}t\'as ir\'anya a 
r\'ud \'altal meghat\'arozott 
egyenesbe esik.) A pil\'ot\'ak j\'artak a tudom\'anyos \'ov\'od\'aba, 
ez\'ert tudj\'ak, hogy a 
relativit\'aselm\'elet szerint merev test nem l\'etezik, \'es a k\'et 
v\'eg\'et \'ert er\H ohat\'as 
k\"ovetkezt\'eben a r\'udban longitudin\'alis rugalmas hull\'amok keletkeznek. 
Ezt 
figyelembe veend\H o m\'ar j\'o el\H ore megvizsg\'alt\'ak a r\'ud 
rugalmas tulajdons\'agait, \'es 
megm\'ert\'ek a csillapod\'o longitudin\'alis hull\'amokra vonatkoz\'o 
telegr\'afegyenlet egy\"utthat\'oit. Ez\'ert 
b\'{\i}znak benne, hogy a hull\'amok sz\'ep lassan lecsillapodnak, \'es a 
r\'ud v\'eg\"ul nyugalmi 
\'allapotba ker\"ul a k\'et rak\'eta \'uj inerciarendszer\'eben. 
K\"ovess\"uk a hull\'amok terjed\'es\'et 
a gyors\'{\i}t\'as szakasz\'aban, illetve a hajt\'om\H uvek kikapcsol\'asa 
ut\'an, \'es hat\'arozzuk meg 
a r\'ud hossz\'at a v\'eg\'allapotban! Mit sz\'ol ehhez Einstein professzor?

\bFL 
(D\'avid Gyula)
\eFL 


\item A Forma-42 versenyen r\'eszt vett fotonrak\'et\'ak egyike ez\'uttal 
(m\'eg b\H os\'egesebb, 
gyakorlatilag korl\'atlan \"uzemanyag\-k\'eszlettel felt\"oltve) a m\'eg a 
Minkowski-t\'ern\'el is 
vadreg\'enyesebb Riemann-t\'eren indul pr\'oba\'utra. A Naprendszer sz\'el\'en 
lebegve 
megc\'elozza az \'egg\"omb egyik s\"ot\'et, galaxisokt\'ol mentes pontj\'at, 
azt\'an hegyibe! 
\'Utk\"ozben persze a szem\'elyzet \'erdekl\H od\'essel figyeli a 
Vil\'agegyetem \'erdekes 
t\'ajait. Mit l\'atnak az 
\H urhaj\'osok az \'ut sor\'an? Hogyan v\'altozik a galaxisok 
f\'enyess\'ege, eloszl\'asa, a kozmikus 
h\'att\'ersug\'arz\'as sz\"ogeloszl\'asa \'es h\H om\'ers\'eklete az 
ir\'any f\"uggv\'eny\'eben? A k\'ert 
adatokat az \H urhaj\'o saj\'atidej\'eben m\'erve sz\'am\'{\i}tsuk ki \'es 
\'abr\'azoljuk! Adjuk meg a 
v\'alaszt az Einstein-f\'ele sztatikus, valamint a Fridman-f\'ele z\'art, 
ny\'{\i}lt, illetve 
euklideszi ter\H u t\'agul\'o Vil\'agegyetem eset\'en is! Mi lesz az 
\H urhaj\'o sorsa a t\'avoli 
j\"ov\H oben?

\bFL 
(D\'avid Gyula)
\eFL 

\item Egyesek szerint a 2+1 dimenzi\'os \'altal\'anos 
relativit\'aselm\'eletben a kozmikus 
objektumok k\"oz\"ott nincs gravit\'aci\'os k\"olcs\"onhat\'as. 
(Mi\'ert, a 3+1 dimenzi\'os 
elm\'eletben van?) Ha a fenti \'all\'{\i}t\'as igaz, akkor mi a csud\'ar\'ol 
sz\'ol egy\'altal\'an a 2+1 
dimenzi\'os elm\'elet? Ha pedig nem igaz az \'all\'{\i}t\'as, akkor 
mi\'ert igaz m\'egis?

\bFL 
(D\'avid Gyula)
\eFL 

\item Hat\'arozzuk meg a k\"ovetkez\H o Hamilton-oper\'ator saj\'at\'ert\'ekeit

$$
\hat{H}= p_x^2 +x^2 +b(p_y^2+y^2) +c(xp_y -yp_x)!
$$

\bFL
(J\'ozsef Cserti)
\eFL

\item A spin mellett tal\'an a {\it hat\'arozatlans\'agi rel\'aci\'o}, 
$\Delta x \Delta p_x \ge \hbar$, stb.\ az, amire a legt\"obbsz\"or utalnak 
\'ugy, hogy {\it \ID tiszt\'an kvantummechanikai jelens\'eg, amelynek 
\underline{nincs} klasszikus megfelel\H oje"}. 
A sz\'arnyal\'o elm\'eknek azonban ez k\"od\"os\'{\i}t\'esnek t\H unhet, \'es felmer\"ulhet az 
axiomatikus kvantummechanika eme b\'asty\'aja ellen int\'ezend\H o t\'amad\'as 
sz\"uks\'egess\'ege. Tal\'an nem is \'allnak olyan rosszul a dolgok, \'es a 
kvantum--klasszikus korrespondenci\'ara \'ehez\H o sz\'ep\'erz\'ek\"unk v\'egs\H o soron 
nem s\'er\"ul. 
A hat\'arozatlans\'agi rel\'aci\'oban egy tetsz\H oleges $A$ fizikai mennyis\'eg 
\'atlag\'ert\'eke k\"or\"uli sz\'or\'as\'at kell kisz\'am\'{\i}tani:
$$
\Delta A = {\left(\overline{A^2}- \overline{A}^2\right)}^{1/2}.
$$ 

A kvantummechanika (QM) keretein bel\"ul a fent haszn\'alt \'atlag (az 
egyszer\H us\'eg kedv\'e\'ert az egydimenzi\'os esetben) a k\"ovetkez\H o integr\'alt jelenti:
$$
\overline{A}_{QM}= \int_{x_1}^{x_2} \, \Psi^*(x) A(x) \Psi (x) \, dx,   
$$
ahol  $\Psi (x)$ rendszer norm\'alt hull\'amf\"uggv\'enye. 
A klasszikus mechanik\'aban (CM) persze m\'ar bajosabb megadni azt, hogy mit 
\'erthetn\'enk ezen az \'atlagon, de munkahipot\'ezisk\'ent
-- jobb h\'{\i}j\'an -- \'ertelmezz\"uk $A$ \'atlag\'at az 
$$
\overline{A}_{CM}= \frac{\int_{0}^{t_0}A(t)\, dt}{\int_{0}^{t_0}\, dt}, 
$$
id\H o\'atlaggal, azt\'an n\'ezz\"uk meg, hogy ezzel mire jutunk. 
Ahhoz, hogy ellen\H orizhess\"uk ennek a n\'emileg mer\'esz v\'alaszt\'asnak a 
l\'etjogosults\'ag\'at, tekints\"unk egy konkr\'et rendszert.
Az $U({\bf r})= - \alpha/r$ vonz\'o centr\'alis potenci\'alban t\"ort\'en\H o 
klasszikus mozg\'as (Kepler-probl\'ema) \'es kvantumos mozg\'as (hidrog\'enatom)
k\"ozti hasonl\'os\'agokra (pl.\ szimmetri\'ak) m\'ar r\'egen felfigyeltek; 
a r\'eszletek (p\'aly\'ak, hull\'amf\"uggv\'enyek, energi\'ak, stb.) pedig j\'ol ismertek.

Keress\"uk meg a megfelel\H o koordin\'at\'akat \'es v\'altoz\'okat, majd 
sz\'am\'{\i}tsuk ki a sz\'or\'asokat egy alkalmasan v\'alasztott koordin\'at\'
ara \'es a 
hozz\'atartoz\'o impulzusra n\'ezve! Haszn\'aljuk a fenti defin\'{\i}ci\'okat 
(ha tudunk 
jobbat aj\'anlani, akkor hajr\'a...)! Van-e kapcsolat a klasszikus \'es a 
kvantummechanikai eredm\'enyek k\"oz\"ott?
 Lehet-e ezek alapj\'an klasszikus hat\'arozatlans\'agi rel\'aci\'or\'ol 
besz\'elni? Mit jelent itt az \'atlag klasszikus defin\'{\i}ci\'oja?


\bFL
(Magyar  P\'eter)
\eFL

\item

Tekints\"uk a 
$$
H(q,p)=\sum_{i,j=1}^n \, g_{ij}(q) \, p^i p^j +
\sum_{i=1}^n h_{i}(q) \, p^i+ f(q)
$$
Hamilton-f\"uggv\'eny  \'altal defini\'alt rendszert, ahol
$q=\{q_1,\cdots , q_n\}$
az \'altal\'anos koordin\'at\'ak \"osszess\'eg\'et jel\"oli.
Kvant\'aljuk a rendszert a 
\begin{eqnarray*}
p^i \mapsto \hat{p}^i =\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial q_i}, &&
q_i \mapsto \hat{q}_i = q_i\cdot . 
\end{eqnarray*}
Schr\"odinger-f\'ele el\H o\'{\i}r\'as szerint. Az oper\'atorok 
sorrendj\'enek hat\'arozatlans\'ag\'at a
$$
\langle \psi_1\psi_2 \rangle = \int \, \overline{\psi}_1\psi_2 \, d^n q
$$
skal\'arszorzat szerinti \"onadjung\'alts\'ag megk\"ovetel\'es\'evel
sz\"untetj\"uk meg.

Hogyan kell transzform\'alni a hull\'amf\"uggv\'enyeket a 
$q_i \mapsto {q_i}^\prime$
\'altal\'anos koordin\'atatranszform\'aci\'o sor\'an, ha azt akarjuk,
hogy $\hat{H}$ kovari\'ansan transzform\'al\'odjon?
Alkalmazzuk a fenti eredm\'enyeket a k\'etdimenzi\'os harmonikus
oszcill\'atorra Descartes- \'es pol\'arkoordin\'ata-rendszer-beli
kvant\'al\'as eset\'en!

\bFL
(Bajnok Zolt\'an)
\eFL

\item Az elektronok fermionok, \'{\i}gy a Pauli-elv \'ertelm\'eben nem ker\"ulhetnek
azonos \'allapotba. A szupravezet\H okben az elektronok
p\'arokba \'allnak \"ossze (Cooper-p\'arok), amelyek bozonok, \'es \'{\i}gy
azonos \'allapotba is ker\"ulhetnek. Nincs itt ellentmond\'as? Indokoljuk
a v\'alaszt sz\'am\'{\i}t\'assal!

\bFL
(Bene Gyula)
\eFL

\item  Vizsg\'aljuk meg, lehet-e koherens \'allapotokat \'ertelmezni 
s\'{\i}krot\'ator
eset\'eben! A harmonikus oszcill\'ator koherens \'allapotainak mely 
tulajdons\'agait lehet \'atmenteni, illetve mir\H ol kell lemondani? Mi 
az \'uj koherens \'allapotok
kapcsolata a l\'eptet\H o oper\'atorokkal?


\bFL 
(Bors\'anyi Szabolcs)
\eFL


\item K\'et bozon mozog egydimenzi\'os, v\'egtelen m\'ely potenci\'alv\"olgyben
(azaz $V(x)=0$, ha $0\le x \le a$ \'es $V(x)=\infty$ egy\'ebk\'ent).
Egym\'assal merev g\"ombk\'ent \"utk\"oznek. Hat\'arozzuk meg az 
energia-saj\'at\'ert\'ekeket \'es az energia-saj\'atf\"uggv\'enyeket!

\bFL
(Bene Gyula)
\eFL

\item  A csapd\'aba z\'art, Bose-kondenz\'al\'od\'o alk\'ali-atomok
alacsony energi\'as gerjeszt\'eseit a k\"ovetkez\H o 
saj\'at\'ert\'ek-probl\'ema megold\'asa adja meg:
$$
\omega_i^2 \phi_i ({\bf x})= \hat{G} \phi_i ({\bf x})
\equiv -{1 \over m} {\rm div}\left[ \left( \mu -U({\bf x}) \right) 
{\rm grad} \, \phi_i ({\bf x }) \right]\, ,  
$$
$$
\int_V d^3 x \, \phi_i^* ({\bf x}) \phi_j ({\bf x}) = \delta_{ij}\, ,
\quad V=\left\{{\bf x}| \mu - U({\bf x})>0 \right\} \, . 
$$
A k\'{\i}s\'erletekben az $U({\bf x})$ potenci\'al
$$
U({\bf x})={1 \over 2}m \omega_x^2 x^2 + {1 \over 2}m \omega_y^2 y^2+
           {1 \over 2}m \omega_z^2 z^2 
$$
alak\'u, ahol $\mu > 0$ a k\'emiai potenci\'al, $m$ az alk\'aliatomok 
t\"omege, $\omega_x$, $\omega_y$, $\omega_z$ a csapda jellemz\H oi,
$\hbar \omega_i$ pedig a gerjeszt\'esek energi\'ai.
Milyen tov\'abbi, az $x$, $y$, $z$ koordin\'at\'akat, illetve az azok szerinti
deriv\'altakat tartalmaz\'o, oper\'atorok felcser\'elhet\H ok $\hat{G}$-vel? 

\bFL
(Csord\'as Andr\'as)
\eFL


\item
Fenntarthat\'o-e egy egyatomos ide\'alis g\'azban \"utk\"oz\'esek n\'elk\"ul, 
 puszt\'an csak 
a r\'eszecsk\'ek szabad \'araml\'as\'aval a lok\'alis egyens\'uly? A v\'alasz erre a 
k\'erd\'esre meglep\H o m\'odon {\bf igen}. Mi\'ert? Adjuk meg  a 
f\'azist\'er $f(t,{\bf x},{\bf p})$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek, az 
$n(t,{\bf x})$ lok\'alis s\H ur\H us\'egnek, a $T(t,{\bf x})$ h\H om\'ers\'eklett\'ernek \'es a 
${\bf v}(t,{\bf x})$ sebess\'egt\'ernek az id\H of\"ugg\'es\'et egy ilyen \"utk\"oz\'esmentes, 
lok\'alisan termaliz\'alt g\'azra! 


\bFL
(Cs\"org\H o Tam\'as)
\eFL

\item  A {\it termionok} -- mint az 1996. \'evi Ortvay verseny \'ota tudjuk -- 
olyan (hipotetikus) r\'eszecsk\'ek, amelyek igen gyorsan felveszik a 
k\"ornyezet
h\H om\'ers\'eklet\'et. Boltzmann szerint $E=kT$, Einstein szerint 
$E=mc^2$, sz\'oval 
a termionok t\"omege mindig ar\'anyos a k\"ornyezet lok\'alis 
h\H om\'ers\'eklet\'evel.
Ezt nem kell bebizony\'{\i}tani, ezt egyszer\H uen el kell hinni.

A termionoknak h\'arom fajt\'aja van. A {\it forronok} szeretik a meleget, 
ez\'ert
r\'ajuk a h\H om\'ers\'eklet gradiens\'evel ar\'anyos er\H o hat. A 
{\it vacogonok} 
ezzel szemben hidegkedvel\H ok, ez\'ert a r\'ajuk hat\'o er\H o az el\H obbivel
ellent\'etes ir\'any\'u, b\'ar nagys\'agra megegyez\H o. A {\it temperonok} 
a szelid,
langyos vid\'eket kedvelik, ez\'ert r\'ajuk a sebess\'eg\"uk \'es a 
h\H om\'ers\'eklet-gradiens 
vektori\'alis szorzat\'aval ar\'anyos er\H o hat. (A sz\'amol\'as sor\'an 
az ig\'enyeknek megfelel\H oen tov\'abbi alt\'{\i}pusokat is defini\'alhatunk.)

Tan\'acs: a fell\'ep\H o sebess\'egdimenzi\'oj\'u 
\'alland\'okat c\'elszer\H u 
$c$-vel jel\"olni.

Vizsg\'aljuk meg a termionok egyik vagy m\'asik fajt\'aj\'ab\'ol \'all\'o ide\'alis g\'az 
termodinamik\'aj\'at! Vezzes\"uk le a megfelel\H o \'allapotegyenleteket! 

Mi t\"ort\'enik ha egy mozg\'o dugatty\'uval  -- a) eset: a dugatty\'u 
h\H oszigetel\H o; b) eset: a dugatty\'u h\H ovezet\H o -- elv\'alasztott 
henger k\'et r\'esze k\'et 
k\"ul\"onb\"oz\H o termionfajt\'ab\'ol \'all\'o g\'azt tartalmaz? 
Mi t\"ort\'enik, ha megengedj\"uk a k\'etf\'ele g\'az kevered\'es\'et? 
Vizsg\'aljuk meg a rendszer mechanikai \'es termodinamikai stabilit\'as\'at!

\bFL
(D\'avid Gyula)
\eFL


\item  Az \'at\-lag\-t\'er-k\"o\-ze\-l\'{\i}\-t\'es az Ising-mo\-dell me\-gol\-d\'a\-s\'at egyet\-len spin
vizs\-g\'a\-la\-t\'a\-ra egy\-sze\-r\H u\-s\'{\i}\-ti: egy ki\-v\'a\-lasz\-tott spint eg\-zak\-tul t\'ar\-gya\-lunk,
mi\-k\"oz\-ben a k\"ol\-cs\"on\-ha\-t\'o szom\-sz\'e\-do\-kat \'atlag\-\'er\-t\'e\-k\"uk\-kel he\-lyet\-te\-s\'{\i}t\-j\"uk. Az a
t\'eny, hogy az Ising-l\'anc eg\-zak\-tul me\-gold\-ha\-t\'o, a k\"o\-ze\-l\'{\i}\-t\'es ki\-ter\-jesz\-t\'e\-s\'et
su\-gall\-ja: a mo\-dellt k\"ol\-cs\"on\-ha\-t\'o l\'an\-cok rend\-sze\-r\'e\-nek te\-kint\-ve, egy
ki\-v\'a\-lasz\-tott l\'an\-cot eg\-zak\-tul t\'ar\-gya\-lunk, mi\-k\"oz\-ben a szom\-sz\'e\-dos l\'an\-cok
spin\-je\-it \'at\-la\-g\'er\-t\'e\-k\"uk\-kel he\-lyet\-te\-s\'{\i}t\-j\"uk.

A k\'et k\"o\-ze\-l\'{\i}\-t\'es \"ossze\-ha\-son\-l\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-ra sz\'a\-m\'{\i}t\-suk ki mind\-k\'et m\'o\-don an\-nak az
Ising-mo\-dell\-nek az \'ata\-la\-ku\-l\'a\-si h\H o\-m\'er\-s\'ek\-le\-t\'et, amely\-ben a spi\-nek egy
egy\-sze\-r\H u k\"o\-b\"os r\'acs pont\-ja\-i\-ban he\-lyez\-ked\-nek el, \'es a ki\-cse\-r\'e\-l\H o\-d\'e\-si
egy\"utt\-ha\-t\'ok k\"u\-l\"on\-b\"o\-z\H o \'er\-t\'e\-ke\-ket vesz\-nek fel az $xy$ s\'{\i}k\-ban \'es a $z$
ten\-gely ir\'a\-ny\'a\-ban. A mo\-dell ener\-gi\-\'a\-ja
$$E=-\sum_{i,j,k} \left\{J_\bot (S_{i,j,k} S_{i+1,j,k} +
S_{i,j,k}S_{i,j+1,k}) + J_\Vert S_{i,j,k}S_{i,j,k+1}\right\}
-H\sum_{i,j,k} S_{i,j,k} \ ,$$
ahol az $i,j,k$ eg\'esz sz\'a\-mok a r\'acs\-pon\-tok ko\-or\-di\-n\'a\-t\'ai, \'es
$S_{i,j,k}=\pm 1$.

\bFL 
(Sasv\'ari L\'aszl\'o)
\eFL 


\item Tekints\"unk egy egydimenzi\'os l\'ancot, amelynek ment\'en egym\'ast\'ol szab\'alyos 
$a$ t\'avols\'agra egyforma $\it{{\bf S}}$ ($S \gg 1$) spinek 
helyezkednek el. A spinek (az elektronfelh\H o alakj\'aban megnyilv\'anul\'o atomi 
szimmetri\'ak miatt)  csak az $x$-$y$ s\'{\i}kban tudnak forogni, azaz a l\'anc 
tengely\'ere 
($z$-tengely) mer\H olegesen, a kialakul\'o strukt\'ura pedig ($T=0$ 
h\H om\'ers\'ekleten, k\"uls\H o t\'er n\'elk\"ul) egy (k\'et szomsz\'edos pont k\"oz\"ott) 
$\alpha$ sz\"oggel elfordul\'o {\it spir\'al}. 
Ez a modell helyesen \'{\i}rja le  egyes ritkaf\"oldf\'emek \'es \'atmenetif\'em-vegy\"uletek
{\it alap\'allapot\'at}, amelyekben ismereteink szerint 
a magspinek \'es a vezet\'esi elektronok spinjei k\"ozti hiperfinom k\"olcs\"onhat\'asb\'ol 
sz\'armaz\'o hossz\'ut\'av\'u (oszcill\'al\'o) kicser\'el\H od\'esi potenci\'al adja 
a Hamilton-oper\'ator domin\'ans r\'esz\'et.

Ennek \'ertelm\'eben \'{\i}rjuk a t\"ok\'eletes spir\'al (krist\'alyt\'er-effektusok, stb.\ 
elhanyagol\'as\'aval egyszer\H us\'{\i}tett) Hamilton-oper\'ator\'at a k\"ovetkez\H o form\'aba:
$$
H_{exc}= -S^2 \sum_{i,j} J_{ij} \cos (\phi_i - \phi_j), 
$$
ahol $\phi_i$ az $\it{{\bf S}}_i$ spin \'es az $x$-tengely \'altal bez\'art sz\"og, 
$J_{ij}$ pedig az $\it{{\bf S}}_i$ \'es $\it{{\bf S}}_j$ spinek kicser\'el\H od\'esi 
csatol\'as\'at \'{\i}rja le ($J_{ii}=0$,  $J_{ij}=J_{ji}$). 

Ezek ut\'an k\'epzelj\"uk el, hogy egy bizonyos pontba egy az el\H oz\H oekt\H ol kiss\'e 
elt\'er\H o   $\it{{\bf S^\prime}}$ spin\H u m\'agneses szennyez\H o ker\"ul. 

Gondoljuk \'at a szennyez\H od\'es fizikai k\"ovetkezm\'enyeit, majd sz\'am\'{\i}tsuk ki 
az \'ujonnan kapott spir\'alnak az eredeti ide\'alishoz k\'epesti 
$\delta_i$ torzul\'asi sz\"og\'et az \"osszes $i$ pontra n\'ezve! Diszkut\'aljuk a 
kapott eredm\'enyeket!

\bFL
(Magyar  P\'eter)
\eFL



\item Csatlakoztassunk egy h\H otart\'alyhoz egy olyan, $m$ t\"omeg\H u 
r\'eszecsk\'ekb\H ol  \'all\'o 
Fermi-g\'azt, melynek minden m\'odusa
azonos energi\'aj\'u! B\'armely k\'et   r\'eszecske  k\"oz\"ott 
$\epsilon$ energi\'aj\'u 
k\"olcs\"onh\'at\'as l\'ep fel. Vizsg\'aljuk meg a rendszer termodinamik\'aj\'at!

\bFL 
(Bors\'anyi Szabolcs)
\eFL



\item Ide\'alis Bose-g\'azt tart fogva a $V(\vec{r})=\frac{1}{2}m\omega_1^2 x^2
+\frac{1}{2}m\omega_2^2 y^2+\frac{1}{2}m\omega_3^2 z^2$ harmonikus 
csapdapotenci\'al.
Hat\'arozzuk meg a Bose-kondenz\'aci\'o kritikus h\H om\'ers\'eklet\'et \'es
a kondenz\'atum r\'eszecskesz\'am\'anak h\H om\'ers\'ekletf\"ugg\'es\'et!


\bFL
(Bene Gyula)
\eFL



\item Sok esetben fontos az elektronik\'aban (alakatr\'eszekben, eszk\"oz\"okben) 
felhaszn\'al\'asra ker\"ul\H o anyagok el\H ozetes vizsg\'a\-lata --- pl.\ nagyon alacsony, 
ak\'ar 1 K k\"or\"uli h\H om\'ers\'ekleteken is. Az ide\'alis esetekben az apr\'o mint\'an 
kereszt\"ul az \'aram kontaktust\'ol kontaktusig egyenletesen folyik, de gy\'art\'as 
t\"ok\'eletlens\'ege, valamint az elker\"ulhetetlen inhomogenit\'asok \'es szennyez\H ok 
miatt egy \'un.\ \ID disordered", azaz v\'eletlenszer\H u, szimmetria n\'elk\"uli 
$V({\bf r})$ sz\'or\'opotenci\'al is megjelenik (a krist\'aly szab\'alyos, 
r\'acsperiodikus, az $m^*$ effekt\'{\i}v t\"omegen kereszt\"ul figyelembe vett 
$U({\bf r})$ potenci\'alja mellett), amely a teljes \'aram egy r\'esz\'et 
szab\'alytalan alak\'u \'es kiterjed\'es\H u csatorn\'akba szor\'{\i}tja, m\'{\i}g m\'as helyeken 
szinte alig halad \'at t\"olt\'eshordoz\'o. 
Ennek eredm\'enyek\'eppen a felsz\'{\i}n alatt, valahol a minta belsej\'eben t\'erben 
korl\'atos sz\H uk tartom\'anyokban extra disszip\'aci\'o l\'ep fel. Ezeknek az \'altal\'aban 
n\'eh\'anyszor t\'{\i}z $\mu\rm m$ kiterjed\'es\H u disszipat\'{\i}v \ID szigeteknek" a 
megfigyel\'ese 
technol\'ogiai szempontb\'ol igen fontos, ehhez pedig rendkiv\"ul \'erz\'ekeny 
h\H om\'ers\'ekletm\'er\'esre van sz\H uks\'eg. 

Na most j\"on a k\'epzelet birodalma. Tegy\"uk fel, hogy a laborunk cs\'or\'o 
(...) 
\'es a h\H om\'er\H oink egyt\H ol egyig mind elavultak. Van azonban egy j\'o l\'ezer\"unk, a 
csapb\'ol pedig \"omlik a szuperfoly\'ekony ${}^4$He.  Ett\H ol sz\'arnyakat kapunk, \'es 
elkezd\"unk gondolkodni...    a szuperfoly\'ekony ${}^4$He egy csom\'o \'erdekes 
tulajdons\'agot, jelens\'eget mutat ... ha ezek k\"oz\"ul n\'eh\'anyat ki tudn\'ank 
haszn\'alni 
fel\"uleti termogr\'afi\'ara, m\'as sz\'oval \'at tudn\'ank v\'altani a 
$\Delta T$-t $\Delta x$-re ... 
(Tegy\"unk \'{\i}gy, becssz\'ora, lehet ...)
\\ 

a) Tal\'aljuk meg az alkalmas k\'{\i}s\'erleti elrendez\'est, magyar\'azzuk meg a 
m\'er\'es elv\'et, \'es v\'egezz\"unk n\'eh\'any egyszer\H u konkr\'et sz\'am\'{\i}t\'ast is! 
\\

b) Mi a (kital\'alt) m\'odszer \'erz\'ekeny\'ege? Sz\"uks\'eg eset\'en haszn\'aljunk 
n\'eh\'any realisztikus sz\'amadatot! A l\'ezer m\'er\'esi pontoss\'ag\'at (felbont\'as) 
vegy\"uk kb.\ 1 $\mu\rm m$-nek!
 
\bFL
(Magyar P\'eter)
\eFL

\item 
K\"ul\"on\"os l\'enyek \'elnek egy t\'avoli k\'etdimenzi\'os bolyg\'on. 
Mindegyik\"uk sz\'{\i}v\'eben 
egy kis antenna tal\'alhat\'o, mely egy egys\'egnyi hossz\'us\'ag\'u 
${\bf b}$ vektorral adhat\'o meg, ha a l\'eny \'ebren van -- alv\'o l\'eny 
eset\'en pedig ${\bf b}=0$. Az ellent\'etes ir\'any\'u ${\bf b}$ 
vektorral rendelkez\H o egyedek nagy vonzalmat (a mi fogalmaink szerint 
szerelmet) mutatnak egym\'as ir\'ant. Egy napon a b\'ajos Antennova egy 
nagy kerek t\'o k\"ozep\'en lev\H o apr\'ocska szigetre cs\'onak\'azott, 
hogy vir\'agot 
szedjen. Sajnos nem volt el\'eg gondos, \'es  cs\'onakj\'at elsodorta a 
v\'{\i}z. 
Szeg\'eny szomor\'uan \'es t\'etlen\"ul \"uld\"og\'elt a szigeten, mivel 
nem tudott 
\'uszni. Abban rem\'enykedett, hogy tal\'an valaki arra j\'ar, \'es seg\'{\i}t 
neki. M\'ar 
el\'eg k\'es\H ore j\'art, mikor megjelent a h\H os Antennovics, aki 
melleseleg igen 
forr\'on im\'adta a b\'ajos Antennov\'at. Mindkett\H oj\"uk sz\'{\i}ve 
megdobbant -- \'o min\H o jelenet! K\'ar, hogy nem l\'atta senki -- 
hiszen a bolyg\'on mindeki m\'as m\'elyen aludt.   

A h\H os 
Antennovics nem habozott, \'es t\"ust\'ent megpr\'ob\'alt seg\'{\i}teni a 
bajba jutott 
kedves\'enek. A baj csak az volt, hogy \H o sem tudott \'uszni. Igen 
bosszankodott 
emiatt, m\'eg a fej\'et is elvesztette.  Le-f\"ol (pontosabban k\"orbe-k\"orbe) 
szaladg\'alt a kerek t\'o ment\'en. E v\'eletlenszer\H u \ID termikus t\'anc" 
csak a kettej\"uk k\"ozti k\"olcs\"onhat\'ast\'ol \'es a k\"uls\H o 
h\H om\'ers\'eklett\H ol f\"ugg. 
A bolyg\'o  k\"ul\"on\"os lak\'oinak  
\'elet\'et m\'ar r\'eg\'ota tanulm\'anyozt\'ak a kutat\'ok, bevonva 
n\'eh\'any fizikus hallgat\'ot 
is. Az eddigi kutat\'asi eredm\'enyek szerint a p\'arok k\"oz\"otti ${\cal {H}}$ 
k\"olcs\"onhat\'ast az al\'abbi egyszer\H u alakban adhatjuk meg
$$
H= -\frac{{\cal {H}}}{k_{\rm B}T} =
2 K\left[\frac{1}{2}\left({\bf b}_1{\bf b}_2\right)-
\frac{ \left({\bf b}_1 \, {\bf r}\right) 
\cdot \left( {\bf b}_2 \, {\bf r} \right) }{{{\bf r}}^2}\right],
$$
ahol $k_{\rm B}$ a Boltzmann \'alland\'o, $T$ a h\H om\'ers\'eklet, 
${\bf r}$  a k\'et l\'enyt \"osszek\"ot\H o vektor, m\'{\i}g ${\bf b}_1$, 
${\bf b}_{2}$ 
a megfelel\H o antennavektoruk \'es $K$ a csatol\'asi \'alland\'o.  
A kutat\'ocsoport fizikus hallgat\'oi a k\"ovetkez\H o \"otlettel 
pr\'ob\'alt\'ak meghat\'arozni 
az eddig m\'eg ismeretlen $K$ csatol\'asi \'alland\'ot. Nagysz\'am\'u 
f\'enyk\'epfelv\'etelt k\'esz\'{\i}tettek a h\H os Antennovics helyzet\'er\H ol. A 
felv\'etelekb\H ol meghat\'arozt\'ak a p\'art \"osszek\"ot\H o ${\bf r}$ 
vektort, majd 
elk\'esz\'{\i}tett\'ek az $<r_i r_j>$ \'atlagot (itt $r_i$ az ${\bf r}$ vektor 
$i$-dik komponense). Feltett\'ek, hogy elegend\H o felv\'etel \'all 
rendelkez\'es\"ukre, 
hogy a fenti \'atlagot a termodinamikai \'atlaggal helyettes\'{\i}ts\'ek. Az 
egym\'as ir\'anti -- szemmel l\'athat\'oan -- er\H os vonzalom alapj\'an azt is 
feltett\'ek, hogy a szerelmes p\'ar antennavektorai ellent\'etes ir\'any\'uak 
(az eddigi kutat\'asok tanus\'aga szerint ezt joggal gondolhatt\'ak).  

A sz\'am\'{\i}t\'asaik sor\'an gondok mer\"ultek fel, ez\'ert az Ortvay 
versenyz\H ok seg\'{\i}ts\'eg\'et 
k\'erik. Hogyan lehet a fentiek alapj\'an meghat\'arozni a $K$ csatol\'asi 
\'alland\'ot? 
Meg lehet-e hat\'arozni e kedves p\'ar antennavektorait? 


\bFL
(Cserti J\'ozsef)
\eFL



\item A Roland-h\'ag\'o a francia Pireneusok egyik legmeglep\H obb 
l\'atv\'anya: egy 
hatalmas sziklafalb\'ol j\'okora darab hi\'anyzik (\texttt
{http://ortvay.elte.hu/1998/roland.jpg}).
A legenda szerint a h\H os 
Roland itt csat\'azott a m\'orokkal, \'es k\"oz\"ul\"uk sok sz\'azat 
pazar kardj\'anak 
\'el\'ere h\'anyt, \'am egy id\H o ut\'an \'erezte, hogy ereje kezdi elhagyni. 
Nem is az
bosszantotta legink\'abb, hogy meg kell halnia, hiszen h\H os volt 
(l\'asd fentebb),
hanem az, hogy kardja az ellens\'eg kez\'ere juthat. \'Igy h\'at 
\"osszeszedte utols\'o 
erej\'et, hogy kardj\'at egy nagy szikl\'an kicsorb\'{\i}tsa --- 
\'es akkor\'at tal\'alt 
odas\'ozni, hogy a francia Pireneusok csorbultak ki. 

Szám\'{\i}tsuk ki, milyen fizikai k\"ovetkezm\'enyekkel j\'ar a 
fenti interpret\'aci\'o!

\bFL 
(Pir\'oth Attila)
\eFL


\end{enumerate}

{\tt $\backslash$end\{document\} }

\end{document}
