\documentstyle{article}
\setlength{\textwidth}{18.2cm}
\setlength{\textheight}{25.cm}
\setlength{\topmargin}{-2.5cm}
\setlength{\evensidemargin}{-1.cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-1.cm}

\begin{document}
\baselineskip0.3cm
\pagestyle{plain}

\newcommand{\ua}{\uparrow}
\newcommand{\da}{\downarrow}
\newcommand{\ID}{\raisebox{-1.2ex}{"}}
\newcommand{\dddot}[1]{\buildrel\textstyle.\textstyle.\textstyle.
\over #1}
\newcommand{\e}{\begin{equation}} 
\newcommand{\ee}{\end{equation}} 
\newcommand{\bEQ}{\begin{eqnarray}} 
\newcommand{\eEQ}{\end{eqnarray}} 
\newcommand{\bOSZ}{\begin{array}} 
\newcommand{\eOSZ}{\end{array}} 
\newcommand{\bFL}{\begin{flushright}} 
\newcommand{\eFL}{\end{flushright}} 
\newcommand{\absz}[1]{\mbox{$\mid\!\!#1\!\!\mid$}}
						
{\Large 
\begin{center}\bf A 28.\ ORT\-VAY RU\-DOLF \\
 FI\-ZI\-KAI PROB\-L\'E\-MA\-ME\-GOL\-D\'O VER\-SENY FE\-LA\-DA\-TAI\\
1997
\end{center}
}

\bigskip
\bigskip
\noindent Be\-a\-d\'a\-si ha\-t\'a\-ri\-d\H o: {\bf 1997. no\-vem\-ber 17. (h\'et\-f\H o) $12^{00}$},

\smallskip

\noindent Pos\-ta\-c\'{\i}m: D\'a\-vid Gyu\-la,  Fi\-zi\-kus Di\-\'ak\-k\"or, G\'o\-lya\-v\'ar,
Hall\-ga\-t\'oi Iro\-da, \mbox{H-1088 Bu\-da\-pest, M\'u\-ze\-um k\"o\-r\'ut 6-8.} 
\noindent E-ma\-i\-len La\-TeX-for\-m\'a\-tum\-ban a 
{\bf dgy@lu\-dens.el\-te.\-hu}
 c\'{\i}mre k\"uld\-het\H ok a meg\-old\'asok.
\noindent Fa\-xon a (1)-266-2556 sz\'am\-ra le\-het k\"ul\-de\-ni a me\-gol\-d\'a\-so\-kat.

\smallskip

\noindent A fe\-la\-da\-tok sze\-m\'e\-lye\-sen {\bf a G\'o\-lya\-v\'ar ru\-ha\-t\'a\-r\'a\-ban} ad\-ha\-t\'ok le.
A M\H u\-e\-gye\-te\-men {\bf Kug\-ler S\'a\-n\-dor}\-n\'al, 
Sze\-ge\-den \mbox{\bf Var\-ga Zsuzs\'a}\-n\'al az Elm\'ele\-ti Fi\-zi\-kai 
Tansz.-en, vagy \mbox{ \bf Hil\-bert Mar\-git}n\'al az Op\-ti\-kai Tansz.-en, 
Deb\-re\-cen\-ben \mbox{\bf Szab\'o} \mbox{\bf Ist\-v\'an}\-n\'al, 
P\'ecsett \mbox{\bf Kor\-pa Csab\'a}n\'al
le\-het le\-ad\-ni a me\-gol\-d\'a\-so\-kat.

\smallskip

\noindent A fe\-la\-da\-tok meg\-old\'asa sor\'an b\'ar\-mi\-lyen seg\'edeszk\"oz haszn\'al\-hat\'o. Az
\'ert\'ekel\'es \'ev\-fo\-lya\-monk\'ent t\"ort\'enik. Ma\-xi\-mum 10 fe\-la\-da\-tot le\-het be\-ad\-ni,
mind\-e\-gyik fe\-la\-dat 100 pon\-tot \'er. {\bf Min\-den fe\-la\-da\-tot  k\"ul\"on la\-pon,
n\'ev \'es  \'ev\-fo\-lyam felt\"un\-tet\'es\'evel k\'er\"unk}. Azo\-nos vagy k\"ozel azo\-nos
\"ossz\-pontsz\'am eset\'en a d\'{\i}jaz\'asn\'al el\H ony\-ben r\'eszes\"ul az, aki
kor\-oszt\'aly\'anak meg\-fe\-lel\H o fe\-la\-da\-tokb\'ol v\'alo\-ga\-tott.

\smallskip

\noindent A zs\H uri \'ev\-fo\-lya\-monk\'ent nul\-la, egy vagy t\"obb els\H o, m\'aso\-dik \'es har\-ma\-dik d\'{\i}jat,
va\-la\-mint d\'{\i}cs\'ere\-te\-ket oszt ki. Ezek\-kel szpon\-zo\-ra\-ink pil\-la\-nat\-nyi ada\-koz\'o
kedv\'et\H ol f\"ugg\H o p\'enz\-ju\-ta\-lom is j\'ar, en\-nek m\'ert\'ek\'er\H ol je\-len\-leg m\'eg nem tu\-dunk
nyi\-lat\-koz\-ni. Egyes fe\-la\-da\-tok ki\-e\-mel\-ked\H o meg\-old\'as\'a\'ert 1000 Ft-os k\"ul\"ond\'{\i}j
ad\-hat\'o. M\'ar egy fe\-la\-dat\'ert is kap\-hat\'o d\'{\i}j, teh\'at egy-k\'et fe\-la\-dat
meg\-old\'as\'at is \'er\-de\-mes be\-ad\-ni!

\smallskip

\noindent A le\-ge\-redm\'enye\-sebb ver\-seny\-z\H ok\-nek Di\'osi La\-jos (KFKI) 15 000 Ft k\"ul\"ond\'{\i}jat
aj\'an\-lott fel. K\"osz\"onj\"uk!

\smallskip

\noindent A ver\-seny ered\-m\'eny\-hir\-de\-t\'e\-se 
Fi\-zi\-kus Mi\-kul\'as\-sal egy\-bek\"ot\-ve 
{\bf 1997.\ de\-cem\-ber 4-\'en 
14 \'ora\-kor} kezd\H odik az \mbox{EL\-TE} \mbox{TTK} \mbox{D \'ep\"ulet\'enek} Nagy\-term\'eben. Az egyes
fe\-la\-da\-tok leg\-jobb meg\-old\'oit el\H ore felk\'erj\"uk, hogy 
meg\-old\'asu\-kat az
ered\-m\'eny\-hir\-de\-t\'es ut\'an is\-mer\-tess\'ek.

\smallskip

\noindent Min\-den r\'eszt\-vev\H onek j\'o ver\-senyz\'est, ta\-nuls\'agos \'es eredm\'enyes
fe\-la\-dat\-me\-gold\'ast k\'{\i}v\'an

\bFL az EL\-TE TTK Fi\-zi\-kus Di\'akk\"ore \'es 
\medskip

a Ma\-gyar Fi\-zi\-kus Hall\-gat\'ok Egyes\"ule\-te\eFL

\vspace*{1cm}



\begin{enumerate}

\item

\'O nap\-su\-g\'ar... H\'ar\-man \'all\-nak a me\-z\H o k\"o\-ze\-p\'en, va\-la\-hol a t\"o\-k\'e\-le\-tes g\"omb ala\-k\'u 
F\"ol\-d\"on, \'es a Nap\-pal szem\-be\-n\'ez\-ve s\"ut\-te\-tik ar\-cu\-kat. Csak h\'at sem\-mi sem 
tart\-hat \"or\"ok\-k\'e, \'es m\'eg a Nap is el\-moz\-dul az \'egen. Nap\-i\-m\'a\-d\'o\-ink el\-in\-dul\-nak 
h\'at a Nap nyo\-m\'a\-ban \'ugy, hogy se\-bes\-s\'eg\-vek\-to\-ruk min\-dig az \'ar\-ny\'e\-kuk\-kal 
el\-len\-t\'e\-tes ir\'any\-ba mu\-tat. \'Al\-l\'o\-k\'e\-pes Vi\-li so\-ha\-sem f\'a\-rad el, az \H o se\-bes\-s\'e\-g\'e\-nek
ab\-szo\-l\'ut \'er\-t\'e\-ke min\-dig \'al\-lan\-d\'o. B\'u\-su\-l\'o La\-jos vi\-szont ha\-mar r\'a\-j\"on, hogy a Na\-pot
\'ugy\-sem fog\-ja ut\'o\-l\'er\-ni, el\-cs\"ug\-ged, \'es amint \'ar\-ny\'e\-ka ho\discretionary{sz-}{sz}{ssz}ab\-bod\-ni kezd, 
an\-nak ho\discretionary{sz-}{sz}{ssz}\'a\-val for\-d\'\i{}\-tott ar\'any\-ban cs\"ok\-ken\-ti se\-bes\-s\'e\-g\'et. Csa\-ka\-z\'er\-tis J\'o\-zsi
ez\-zel szem\-ben egy\-re d\"u\-h\"o\-sebb \'es gyor\-sabb lesz: se\-bes\-s\'e\-ge egye\-ne\-sen ar\'a\-nyos
\'ar\-ny\'e\-ka pil\-la\-nat\-nyi ho\discretionary{sz-}{sz}{ssz}\'a\-val.

Mi\-lyen p\'a\-ly\'at \'\i{}r le a h\'a\-rom nap\-i\-m\'a\-d\'o ($A$, $B$ \'es $C$) a f\"old\-g\"om\-b\"on?

Disz\-ku\-t\'al\-juk a meg\-ol\-d\'ast a kez\-d\H o\-pont f\"old\-raj\-zi hely\-ze\-te, az in\-du\-l\'as nap\-ja
\'es per\-ce, a kez\-d\H o\-se\-bes\-s\'eg, va\-la\-mint ($B$ \'es $C$ ese\-t\'e\-ben) a se\-bes\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny
egy\"utt\-ha\-t\'o\-ja sze\-rint. Vizs\-g\'al\-juk meg a moz\-g\'a\-sok le\-het\-s\'e\-ges t\'\i{}\-pu\-sa\-it \'es 
v\'e\-g\'al\-la\-po\-ta\-it! (Az egy\-sze\-r\H u\-s\'eg ked\-v\'e\-\'ert te\-gy\"uk fel, hogy v\'an\-do\-ra\-ink\-nak
a ten\-ge\-rek sem je\-len\-te\-nek aka\-d\'alyt.)

\bFL
(Bar\-na\-f\"ol\-di Ger\-gely -- D\'avid Gyu\-la)
\eFL

\item 

	T\H uz\-va\-r\'azs\-l\'o ha\-l\'asz\-le\-vet sze\-ret\-ne va\-cso\-r\'a\-ra, ez\'ert egy t\H uz\-g\"om\-b\"ot hoz
l\'et\-re a t\'o fe\-ne\-k\'en. Mi t\"or\-t\'e\-nik? (T\H uz\-g\"omb: olyan kb.\ 1 m \'at\-m\'e\-r\H o\-j\H u tar\-to\-m\'any,
amely\-ben hir\-te\-len [kb.\ 1 m\'a\-sod\-perc] alatt, egyen\-le\-tes t\'er\-be\-li el\-osz\-l\'as\-ban
a\discretionary{ny-}{ny}{nny}i h\H o ke\-let\-ke\-zik, ame\discretionary{ny-}{ny}{nny}i [las\-san ada\-gol\-va] a v\'\i{}z fel\-for\-ra\-l\'a\-s\'a\-hoz \'es 
el\-p\'a\-ro\-log\-ta\-t\'a\-s\'a\-hoz b\H{o}ven ele\-gen\-d\H o len\-ne, de a mo\-le\-ku\-l\'ak io\-ni\-z\'a\-ci\-\'o\-j\'a\-hoz ke\-v\'es.)

\vspace*{-0.2cm}
\bFL 
(Csil\-ling \'Akos)
\eFL

\item

	Som\-mer\-feld pa\-r\'\i{}\-t\'as\-s\'er\-t\H o bics\-k\'a\-ja: Ha egy ka\-vi\-csot dom\-bo\-r\'u fe\-l\'e\-vel 
le\-fe\-l\'e for\-d\'\i{}t\-va az asz\-tal\-ra he\-lye\-z\"unk \'es b\'ar\-me\-lyik ir\'any\-ban meg\-p\"or\-get\-j\"uk, 
a ka\-vics \'al\-ta\-l\'a\-ban si\-m\'an le\-las\-sul\-va \'all meg. Rit\-k\'an, spe\-ci\-\'a\-lis ala\-k\'u ka\-vics 
ese\-t\'en azon\-ban meg\-t\"or\-t\'en\-het, hogy egyik ir\'a\-ny\'u for\-g\'a\-s\'a\-b\'ol vi\discretionary{sz-}{sz}{ssz}a\-for\-dul a 
ka\-vics, el\-len\-ke\-z\H o ir\'any\-ban kezd fo\-rog\-ni, \'es csak azu\-t\'an \'all meg. Ma m\'ar a 
j\'a\-t\'ek\-bol\-tok k\'\i{}\-n\'a\-la\-t\'a\-ban ta\-l\'al\-koz\-ha\-tunk m\H u\-a\-nyag\-b\'ol k\'e\-sz\"ult spe\-ci\-\'a\-lis 
ala\-k\'u "ka\-vi\-csok\-kal", \'es \'al\-l\'\i{}\-t\'o\-lag Som\-mer\-feld bics\-k\'a\-ja is k\'e\-pes volt 
er\-re a mu\-tat\-v\'any\-ra. Ad\-junk fi\-zi\-kai ma\-gya\-r\'a\-za\-tot a je\-len\-s\'eg\-re, s 
vizs\-g\'al\-juk meg, l\'e\-tez\-het-e olyan test, amely az asz\-ta\-lon meg\-p\"or\-get\-ve 
MIND\-K\'ET ir\'any\-b\'ol k\'e\-pes vi\discretionary{sz-}{sz}{ssz}a\-for\-dul\-ni!   
\bFL
(Rad\-nai Gyu\-la)
\eFL

\item

Mek\-ko\-ra le\-het az az egy\-sejt\H{u}, amit egy m\'asik sejt (mak\-rof\'ag) 
be tud  ke\-be\-lez\-ni?
A mak\-rof\'ag k\"ozl\'{\i}t\H{o}leg 60\% fo\-lyad\'ekot, \'es
40\% sz\'ara\-za\-nya\-got tar\-tal\-maz. A sz\'ara\-za\-nyag\-tar\-ta\-lom a sej\-ten 
bel\"ul csak apr\'o g\"omb\"ok form\'aj\'aban
l\'etez\-het. Egy g\"omb t\'er\-fo\-ga\-ta nem le\-het ki\-sebb 
a mak\-rof\'ag tel\-jes t\'er\-fo\-gat\'anak 5 ez\-rel\'ek\'en\'el. 
A be\-ke\-be\-lez\'es \'all\'abak ki\-bocs\'at\'as\'aval t\"ort\'enik.
Az \'all\'ab-k\'epz\'es az \"ossz\-fel\"ulet\-nek ma\-xi\-mum 5\%-a le\-het. 

\bFL (Horv\'ath An\-na) \eFL 

\item 


(A fe\-la\-dat kap\-cso\-l\'o\-dik az 1997-es E\"ot\-v\"os-ver\-seny egyik fe\-la\-da\-t\'a\-hoz.)

Egy asz\-tal sz\'e\-l\'en \'al\-l\'o po\-h\'ar\-ban haj\-l\'e\-kony fo\-n\'al\-ra f\H u\-z\"ott ho\discretionary{sz-}{sz}{ssz}\'u gy\"ongy\-sor van. Ha a l\'anc 
el\-e\-j\'et ki\-l\'o\-gat\-juk a po\-h\'ar fa\-l\'an, gyor\-su\-l\'o moz\-g\'as\-ba kezd, \'es ki\-h\'uz\-za
ma\-ga m\"o\-g\"ott a l\'anc to\-v\'ab\-bi r\'e\-sz\'et is a po\-h\'ar\-b\'ol. A k\'\i{}\-s\'er\-le\-tek sze\-rint
egy id\H o ut\'an a l\'anc\-nak a po\-h\'ar pe\-re\-m\'en \'at\-bu\-k\'o r\'e\-sze meg\-e\-mel\-ke\-dik, \'es 
ma\-ga\-san a pe\-rem f\"o\-l\"ott for\-dul \'at. 
Vizs\-g\'al\-juk meg a moz\-g\'ast, az 
ener\-gi\-a\-vi\-szo\-nyo\-kat, a fel\-l\'e\-p\H o er\H o\-ket, \'es ma\-gya\-r\'az\-zuk meg a l\'anc 
meg\-e\-mel\-ke\-d\'e\-s\'et!

\vspace{-0.4cm}
\bFL 
(Gn\"adig P\'eter) 
\eFL

\item
Pezsg\H{o}tab\-lett\'at v\'{\i}zbe do\-bunk. Ad\-juk meg a tab\-let\-ta m\'eret\'et
az id\H{o} f\"uggv\'eny\'eben!

\bFL 
(Horv\'ath An\-na) 
\eFL

\item

Ho\-mo\-g\'en gra\-vi\-t\'a\-ci\-\'os t\'er\-ben egy ny\'ujt\-ha\-tat\-lan, k\'et v\'e\-g\'en r\"og\-z\'\i{}\-tett l\'anc l\'og. 
Ta\-nul\-m\'a\-nyoz\-zuk a l\'an\-con ter\-je\-d\H o za\-va\-ro\-kat, \'\i{}r\-juk fel a hul\-l\'a\-me\-gyen\-le\-tet 
mi\-n\'el ke\-zel\-he\-t\H obb alak\-ban, \'es ad\-juk meg a disz\-per\-zi\-\'os re\-l\'a\-ci\-\'ot!
Vizs\-g\'al\-juk a k\"u\-l\"on\-b\"o\-z\H o ger\-jesz\-tett\-s\'e\-g\H u \'al\-la\-po\-to\-kat, \'es ad\-juk meg k\"o\-ze\-l\'\i{}\-t\H o\-leg
a hoz\-z\'a\-juk tar\-to\-z\'o frek\-ven\-ci\-\'a\-kat!
(A l\'an\-cot csak a nyug\-v\'o g\"or\-be f\"ug\-g\H o\-le\-ges s\'\i{}k\-j\'a\-ban ger\-jeszt\-j\"uk.)

\bFL 
(Bor\-s\'a\-nyi Sza\-bolcs)
\eFL

\item

Be\-cs\"ul\-j\"uk meg a F\"old sz\"og\-se\-bes\-s\'e\-g\'e\-nek \'ev\-sza\-kos v\'al\-to\-z\'a\-s\'at! Mi\-lyen ha\-t\'a\-sok\-nak
tu\-laj\-do\-n\'\i{}t\-ha\-t\'o ez? Ho\-gyan v\'al\-toz\-ha\-tott az in\-ga\-do\-z\'as az el\-m\'ult sz\'az\-mil\-li\'o 
\'ev\-ben? \'Es mek\-ko\-ra lesz egy-k\'et\-sz\'az \'ev m\'ul\-va, az 
\"uveg\-h\'az-ha\-t\'as ki\-bon\-ta\-ko\-z\'a\-sa
ut\'an?

\bFL 
(D\'a\-vid Gyu\-la)
\eFL

\item

He\-lyez\-z\"unk el egy egye\-nes men\-t\'en h\'a\-rom egy\-for\-ma ru\-gal\-mas
go\-ly\'ot. Nyom\-juk meg ten\-ge\-lyi\-r\'any\-ban a k\'et sz\'el\-s\H ot, \'ugy, hogy azok a
k\"o\-z\'ep\-s\H ot \"o\discretionary{sz-}{sz}{ssz}e\-szo\-r\'\i{}t\-s\'ak.
\begin{enumerate}
 \item[a/] Vizs\-g\'al\-juk a nyo\-m\'o\-e\-r\H o-el\-moz\-du\-l\'as kap\-cso\-la\-tot!
\item[b/] K\'eny\-sze\-r\'\i{}t\-s\"unk a k\"o\-z\'ep\-s\H o go\-ly\'o\-ra a ten\-gely\-re 
me\-r\H o\-le\-ges kis el\-moz\-du\-l\'ast, ez\-\'al\-tal ny\'\i{}\-r\'ast ve\-zet\-ve be a kon\-tak\-tu\-sok\-n\'al. 
\'Ir\-juk le a rend\-szer moz\-g\'a\-s\'at!  K\"u\-l\"o\-n\"os gon\-dot kell for\-d\'\i{}\-ta\-ni a go\-ly\'ok 
\'erint\-ke\-z\'e\-se\-i\-n\'el a ha\-t\'ar\-fel\-t\'e\-te\-lek\-re.
\end{enumerate}

%\vspace{-0.4cm} 
\bFL 
(Kert\'esz J\'anos) 
\eFL

\item

Egy $R$ su\-ga\-r\'u, $M$ t\"o\-me\-g\H u, $L$ ho\discretionary{sz-}{sz}{ssz}\'u\-s\'a\-g\'u ($L\gg R$) t\H uz\-ol\-t\'o\-fecs\-ken\-d\H ot 
v\'\i{}z\-szin\-tes ta\-la\-jon $v_0$ se\-bes\-s\'eg\-gel el\-gu\-r\'\i{}\-tunk oly\-m\'o\-don, hogy a 
v\'e\-g\'et meg\-fog\-juk. A fecs\-ken\-d\H o egy\-re fo\-gy\'o su\-ga\-r\'u, egy\-re ki\-sebb t\"o\-me\-g\H u, 
de egy\-re na\-gyobb se\-bes\-s\'e\-g\H u gu\-ri\-ga\-k\'ent mo\-zog. (A s\'ur\-l\'o\-d\'a\-si \'es k\"o\-zeg\-el\-len\-\'al\-l\'a\-si
vesz\-te\-s\'e\-gek el\-ha\-nya\-gol\-ha\-t\'ok, emel\-lett a gra\-vi\-t\'a\-ci\-\'ot is fi\-gyel\-men
k\'\i{}\-v\"ul hagy\-hat\-juk, mert $\frac{1}{2} Mv^2 \gg MgR$.)  Haszn\'al\-juk
az $M=1, L=1, v_0=1$ egys\'eg\-rend\-szert!

Sz\'a\-m\'\i{}t\-suk ki a gu\-ri\-ga t\"o\-me\-g\'et, su\-ga\-r\'at \'es se\-bes\-s\'e\-g\'et a meg\-tett $x$ \'ut 
f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-ben, va\-la\-mint a gu\-ri\-g\'a\-ra ha\-t\'o k\"ul\-s\H o er\H o\-ket! Iga\-zol\-juk, hogy
$$
v=\frac{1}{\sqrt{1-x}},\qquad 
\qquad F_{x}=\frac{1}{2(1-x)}
\quad \mbox{\rm \'es} \quad F_{y}=0,
$$
ahol $F_x$ \'es $F_y$ az er\H{o} se\-bess\'eg\-gel p\'ar\-hu\-za\-mos, ill.\
ar\-ra mer\H{o}le\-ges kom\-po\-nen\-se.

Vizs\-g\'al\-juk meg a per\-d\"u\-let meg\-ma\-ra\-d\'a\-s\'a\-nak t\'e\-te\-l\'et a fecs\-ken\-d\H o r\"og\-z\'\i{}\-tett
v\'eg\-pont\-j\'a\-ra vo\-nat\-koz\-tat\-va!

%\vspace*{-0.4cm}
\bFL 
(Gn\"adig P\'e\-ter) 
\eFL

\item

Er\H{o}s fi\'uk kell\H{o} sz\'am\'u s\"or el\-fo\-gyaszt\'asa ut\'an 
a s\"or\"os\-ku\-pa\-kot h\"uvelyk- \'es mu\-tat\'ouj\-juk k\"oz\'e fog\-va azt 
k\"o\discretionary{ny-}{ny}{nny}ed\'en \"o\discretionary{sz-}{sz}{ssz}e tudj\'ak nyom\-ni. Becs\"ulj\"uk meg, hogy mek\-ko\-ra
er\H{o} sz\"uks\'eges eh\-hez a mu\-tatv\'any\-hoz! (A ku\-pak pe\-re\-m\'en le\-v\H o
re\-c\'ek\-t\H ol sz\"uk\-s\'eg ese\-t\'en te\-kint\-s\"unk el. Ha m\'as\-k\'epp nem megy, a ku\-pa\-kot
la\-pos ko\-rong\-gal is mo\-del\-lez\-het\-j\"uk.)

\bFL 
(Cser\-ti J\'o\-zsef)
\eFL



\item

A hall\'as l\'et\-rej\"ott\'eig a hang\-hull\'amok\-nak \'at kell ala\-kul\-ni\-uk
k\'emi\-ai je\-lekk\'e. Mek\-ko\-ra a hang\-hull\'amok fel\-er\H{o}s\"od\'ese, 
il\-let\-ve hal\-kul\'asa a bels\H{o} f\"ul\-ben, ha 
le\-veg\H{o}--membr\'an--csont--csont--csont--membr\'an--v\'{\i}z 
a hull\'am ter\-jed\'esi \'ut\-ja?
Mi\-lyen han\-ger\H{o}ss\'egn\'el kell meg\-szak\'{\i}ta\-ni a sort, hogy ne
j\"ojj\"on l\'et\-re re\-zo\-nan\-cia? (A ge\-o\-met\-ri\-ai el\-ren\-dez\'esr\H{o}l
l\'asd. pl. Dr.~Rib\'ari Ott\'o: F\"ul--orr--g\'ege gy\'ogy\'aszat,
a me\-cha\-ni\-kai tu\-laj\-dons\'agok le\'{\i}r\'as\'ahoz
 j\'o k\"ozel\'{\i}t\'es, ha
a membr\'ant gu\-mih\'arty\'anak, a cson\-tot v\'{\i}zk\H{o}nek
te\-kintj\"uk.)

\bFL 
(Horv\'ath An\-na) 
\eFL

\item

A la\-posl\'api \"on\-korm\'any\-zat \'uj att\-rak\-ci\'ot k\'esz\"ul 
fel\'all\'\i ta\-ni a he\-lyi vid\'am\-park\-ban: a La\-posl\'api Leng\H o Lif\-tet. 
A ter\-vek sze\-rint az LLL ab\-ban k\"ul\"onb\"oz\-ne a ha\-gyo\-m\'anyos
fel\-von\'okt\'ol, hogy (1) nincs lift\-akn\'aja, \'\i gy a ka\-bin -- amint az a
n\'evb\H ol sejt\-het\H o -- a f\"ol-le lif\-tez\'es mel\-lett sza\-ba\-don
leng\-het is, ezenk\'\i v\"ul (2) mo\-tor sem lesz ben\-ne, a me\-ne\-tek 
le\-foly\'asa a leng\H o lift\-ka\-bin \'es a csak f\"ugg\H ole\-ge\-sen mozg\'o
el\-lens\'uly k\"oz\"ot\-ti k\"ot\'elh\'uz\'as\-ban d\H ol majd el.
(A f\"ugg\H ole\-ges tart\'oszer\-ke\-zet csak egy leng\'esi s\'\i kot tesz
le\-het\H ov\'e  a ka\-bin sz\'am\'ara.)
A gon\-dok ak\-kor kezd\H od\-tek, ami\-kor a r\'esz\-le\-tes m\H usza\-ki terv 
ki\-dol\-goz\'as\'at egyik is\-mert fel\-von\'ogy\'art\'o c\'eg sem v\'al\-lal\-ta, 
ez\'ert az \"on\-korm\'any\-zat most sz\'el\-e\-sebb k\"orb\H ol v\'ar\-ja 
a rend\-szer biz\-tons\'agos \"uze\-mel\-tet\'es\'ehez sz\"uks\'eges 
alap\-vet\H o sz\'am\'\i t\'asok elv\'egz\'es\'et.
A leg\-fon\-to\-sabb k\'erd\'esek a k\"ovet\-kez\H ok:
\begin{enumerate}
 \item[{ a/}] 
  H\'any utas\-ra ter\-vezz\'ek a ka\-bint, ha az el\-lens\'uly t\"ome\-ge adott?
 \item[{ b/}]
  Az \'allv\'anyon l\'ev\H o, l\'epcs\H on megk\"ozel\'\i thet\H o 
  pne\-u\-ma\-ti\-kus ind\'\i t\'o- \'es f\'ekez\H o\-szer\-ke\-zet, amely a besz\'all\'as 
  idej\'ere r\"ogz\'\i ti is a rend\-szert, csak egy adott 
  (v\'\i zszin\-tes ir\'any\'u) 
  kezd\H ose\-bess\'eg\-gel k\'epes megl\"ok\-ni a f\"ugg\H ole\-ges hely\-zet\H u 
  ka\-bint. 
  Mi\-lyen tar\-tom\'any\-ban kell len\-nie az ind\'\i t\'oma\-gass\'ag\-nak a rend\-szer
  biz\-tons\'aga szem\-pontj\'ab\'ol? (A dr\'otk\"ot\'el ho\discretionary{sz-}{sz}{ssz}a meg\-e\-gye\-zik
  az \'allv\'any ma\-gass\'ag\'aval.)
  Mi\-lyen lesz a me\-net jel\-le\-ge az ind\'\i t\'oma\-gass\'ag f\"uggv\'eny\'eben?
 \item[ c/]
  Mi\-lyen hossz\'u me\-ne\-te\-ket en\-ged meg az a k\"or\"ulm\'eny, hogy a
  lef\'ekez\'est csak az ind\'\i t\'oma\-gass\'ag\-ban le\-het elv\'egez\-ni?
 \item[ d/]
  Kell-e az uta\-so\-kat \'ov\-ni a fej\-re\-es\'est\H ol a me\-net ide\-je alatt?
  \'Atp\"ord\"ul\-het-e a ka\-bin?  
 \item[ e/]
  Mek\-ko\-ra ma\-xim\'alis fesz\'\i t\H oer\H ore m\'ere\-tezz\'ek a 
  dr\'otk\"ote\-let? B\'\i zhat\-nak-e ab\-ban, hogy a k\"ot\'el v\'egig
  fe\-szes ma\-rad?
\end{enumerate}
A biz\-tons\'agi szem\-pon\-tok mel\-lett term\'esze\-te\-sen szem el\H ott kell
tar\-ta\-ni a gaz\-das\'agoss\'agot is: sok em\-bert vonz\'o v\'al\-to\-za\-tos 
me\-ne\-tek\-re len\-ne sz\"uks\'eg.
A rend\-szer ola\-jo\-zott m\H uk\"od\'es\'et a k\'ep\-vi\-sel\H otest\"ulet
egyik tag\-ja, a he\-lyi ben\-zin\-ku\-tat is \"uze\-mel\-tet\H o nyu\-gal\-ma\-zott ez\-re\-des
ga\-rant\'aln\'a. 
Az \"on\-korm\'any\-zat 
min\-den
%b\'armilyen 
r\'esze\-redm\'enyt h\'al\'asan fo\-gad.

\vspace*{-0.4cm}
\bFL 
(Ko\-v\'acs Zol\-t\'an) 
\eFL

\item

Egy j\'o\-gi l\'eg\-z\H o\-gya\-kor\-lat k\"oz\-ben a k\"o\-vet\-ke\-z\H o men\-t\'a\-lis tech\-ni\-k\'at gya\-ko\-rol\-ja:

"Be\-l\'eg\-z\'es\-n\'el a test ki\-t\'a\-gul, ki\-l\'eg\-z\'es\-kor a test \"o\discretionary{sz-}{sz}{ssz}e\-h\'u\-z\'o\-dik.
Min\-den be\-l\'eg\-z\'es\-kor a k\"or\-nye\-z\H o le\-ve\-g\H o az orr\-ny\'\i{}\-l\'a\-som fe\-l\'e moz\-dul,
min\-den ki\-l\'eg\-z\'es\-kor pe\-dig az el\-len\-ke\-z\H o ir\'any\-ba."

\begin{enumerate}
\vspace*{-.1cm} \item[a/] Be\-cs\"ul\-j\"uk meg, hogy a j\'o\-gi\-t\'ol adott t\'a\-vol\-s\'ag\-ban l\'e\-v\H o le\-ve\-g\H o
   me\discretionary{ny-}{ny}{nny}it moz\-dul el a be\-l\'eg\-z\'es\-kor-ki\-l\'eg\-z\'es\-kor!
\vspace*{-.1cm} \item[b/] Mi\-lyen t\'a\-vol\-s\'ag\-ban v\'a\-lik ez az el\-moz\-du\-l\'as meg\-m\'er\-he\-tet\-le\-n\"ul ki\-csi\-v\'e?
\vspace*{-.1cm} \item[c/] Ho\-gyan be\-fo\-ly\'a\-sol\-ja az el\-moz\-du\-l\'ast a test be\-l\'eg\-z\'es\-ko\-ri t\'a\-gu\-l\'a\-sa,
   ki\-l\'eg\-z\'es\-ko\-ri \"o\discretionary{sz-}{sz}{ssz}e\-h\'u\-z\'o\-d\'a\-sa?
\end{enumerate} 
 
\vspace*{-0.4cm}
\bFL 
(M\'ark G\'e\-za)
\eFL

\item

\begin{enumerate}
\item[a/] 
Meg\-nyit\-juk a me\-legv\'{\i}z-csa\-pot, mert zu\-ha\-nyoz\-ni sze\-retn\'enk.
    A v\'{\i}z egy el\'eg hossz\'u, fal\-ba \'ep\'{\i}tett 
cs\"ov\"on j\"on egy t\'avo\-li
me\-legv\'{\i}z-tart\'alyb\'ol. El\H{o}tt\"unk r\'egen nem
f\"ur\"od\-tek, \'es a cs\H{o}ben lev\H{o} v\'{\i}z m\'ar fel\-vet\-te
a k\"or\-nye\-zet 10 ${}^\circ$C-os h\H{o}m\'ers\'ek\-let\'et.
    Mi lesz a v\'{\i}z h\H{o}m\'ers\'ek\-let\'enek id\H{o}f\"ugg\'ese
a csap meg\-nyit\'asa ut\'an,
 ha a v\'{\i}z\'aram kons\-tans?

\item[b/]  Mi t\"ort\'enik, ha a fal (ami\-ben a cs\H{o} j\"on)
h\H{o}m\'ers\'ek\-le\-te\-loszl\'asa
nem kons\-tans, ha\-nem
egy r\"ovid sza\-ka\-szon  10 he\-lyett  csak 0.001 ${}^{\circ}$C fo\-kos?

\item[c/] 
Na\-gyon sok\'aig fo\-lyat\-juk a me\-leg vi\-zet. (Fel\-tessz\"uk, hogy a 
    me\-legv\'{\i}z-tart\'aly v\'eg\-te\-len nagy.) 
Ezut\'an per\-sze a v\'{\i}z
 t\'ul forr\'o,
    ez\'ert meg\-nyit\-juk a hi\-deg vi\-zet, ami\-hez ut\'ana nem ny\'ulunk.
    Ek\-kor el\-kezd\"unk j\'at\-sza\-ni a  me\-legv\'{\i}zzel: a csa\-pot
    a k\"ovet\-kez\H{o} id\H{o}f\"uggv\'eny sze\-rint for\-gat\-juk:
$\phi(t)=\phi_0+
\phi_1\cdot\sin(\omega t)$. A csapb\'ol foly\'o v\'{\i}z me\discretionary{ny-}{ny}{nny}is\'ege
ar\'anyos a $\phi$ sz\"ogel\-for\-dul\'as\-sal.
    Mi lesz a ki\-foly\'o v\'{\i}z h\H{o}m\'ers\'ek\-let\'enek
id\H{o}f\"ugg\'ese?
\end{enumerate}

\vspace{-0.4cm}
\bFL 
(Ve\-res G\'abor) 
\eFL

\item

Ve\-zess\"uk le a 2 di\-men\-zi\'os szap\-pan\-hab\-ban (sok, egym\'as\-sal 
\'erint\-kez\H{o} bu\-bor\'ek) egy bu\-bor\'ek ter\"ulet\'enek 
id\H{o}be\-li fejl\H{o}d\'es\'et le\'{\i}r\'o Ne\-u\-mann-egyen\-le\-tet:
$$
% \frac{d A_n}{dt}
dA_n/dt=f(A_n,n,k),
$$
ahol $A_n$ egy $n$ ol\-dal\'u bu\-bor\'ek ter\"ule\-te, $k$ a diff\'uzi\'os 
kons\-tans, $n$ az ol\-da\-lak sz\'ama. Ad\-juk meg az $f$ f\"uggv\'eny
konkr\'et alakj\'at!
Me\discretionary{ny-}{ny}{nny}i az ol\-dalsz\'am kri\-ti\-kus \'ert\'eke?
\vspace{0.1cm}
\bFL 
(Da\-ru\-ka Istv\'an) 
\eFL


\item

Egy ed\'eny\-ben fo\-lyad\'ek van. Az ed\'eny forg\'a\discretionary{sz-}{sz}{ssz}im\-met\-ri\-kus,
de a fa\-la nem mer\H ole\-ges az ed\'eny alj\'ara. Hat\'aroz\-zuk meg
a nyugv\'o fo\-lyad\'ek felsz\' \i n\'enek alakj\'at!
 (Csak forg\'a\discretionary{sz-}{sz}{ssz}im\-met\-ri\-kus meg\-old\'aso\-kat ke\-ress\"unk!)

\bFL
(Far\-kas Z\'en\'o)
\eFL


\item

Egy asz\-ta\-lon \'al\-l\'o ed\'eny\-ben v\'\i{}z van, az ed\'eny al\-j\'a\-b\'ol cs\H o ve\-zet az asz\-tal
mel\-lett \'al\-l\'o, szek\-r\'eny nagy\-s\'a\-g\'u fe\-ke\-te do\-boz bel\-se\-j\'e\-be. Ha az ed\'eny\-be
m\'eg egy kis vi\-zet \"on\-t\"unk, az ere\-de\-ti fo\-lya\-d\'ek\-szint le\-cs\"ok\-ken. Ha vi\-szont
ki\-me\-r\"unk n\'e\-mi vi\-zet az ed\'eny\-b\H ol, a szint meg\-e\-mel\-ke\-dik.

Mi van a fe\-ke\-te do\-boz\-ban? \'Al\-l\'\i{}t\-sunk fel mi\-n\'el egy\-sze\-r\H ubb mo\-dellt, \'es
ad\-juk meg a v\'\i{}z\-szint v\'al\-to\-z\'a\-s\'at a be\-\"on\-t\"ott vagy ki\-mert v\'\i{}z\-me\discretionary{ny-}{ny}{nny}i\-s\'eg
f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-ben! V\'al\-toz\-tas\-suk a mo\-dell pa\-ra\-m\'e\-te\-re\-it, \'es vizs\-g\'al\-juk meg a
rend\-szer vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'et!

\vspace{-0.4cm}
\bFL 
(K\"oz\-li: Cs\'ak\'any An\-tal) 
\eFL

\item

Von Mi\-ses sze\-rint egy izot\-r\'op szi\-l\'ard anyag k\'ep\-l\'e\-keny meg\-fo\-ly\'a\-s\'a\-nak 
fel\-t\'e\-te\-le a k\"o\-vet\-ke\-z\H o:
$$
\tilde{\sigma}_{ij}\tilde{\sigma}_{ij} >K^2,
$$


ahol $\tilde{\sigma}_{ij}$ a fe\-sz\"ult\-s\'eg\-ten\-zor spur\-ta\-lan r\'e\-sze:
$\tilde{\sigma}_{ij}=\sigma_{ij}-\frac{1}{3}\sigma_{kk}\delta_{ij},$
a $K$ pe\-dig adott anya\-gi \'al\-lan\-d\'o.

Tres\-ca sze\-rint vi\-szont a k\'ep\-l\'e\-keny\-s\'e\-gi ha\-t\'art a fe\-sz\"ult\-s\'eg\-ten\-zor sa\-j\'a\-t\'er\-t\'e\-kei 
ha\-t\'a\-roz\-zak meg. A fel\-t\'e\-tel a leg\-na\-gyobb $\sigma_{max}$ \'es a leg\-ki\-sebb $\sigma_{min}$ sa\-j\'a\-t\'er\-t\'ek\-kel a 
k\"o\-vet\-ke\-z\H o alak\-ba \'\i{}r\-ha\-t\'o:
$$
|\sigma_{max}-\sigma_{min}|>K'
$$
ahol $K'$ anyagi \'alland\'o.


Mu\-tas\-suk meg, hogy k\'et di\-men\-zi\-\'o\-ban Tres\-ca \'es von Mi\-ses fel\-t\'e\-te\-le azo\-nos
kri\-t\'e\-ri\-u\-mot ad! Ke\-ress\"unk to\-v\'ab\-b\'a olyan de\-for\-m\'a\-ci\-\'ot, ame\-lyet al\-kal\-maz\-va 
ki\-s\'er\-le\-ti\-leg el le\-het d\"on\-te\-ni, hogy az anyag me\-lyik fel\-t\'e\-telt k\"o\-ve\-ti!

\bFL 
(Tichy G\'e\-za) 
\eFL

\item
Egy nagy ed{\'e}ny v{\'\i}zben a fa\-lakt{\'o}l t{\'a}vol l{\'e}tre\-ho\-zunk egy g{\"o}mb alak{\'u}
 \( R_{0} \) su\-gar{\'u} {\"u}re\-get (bu\-bor{\'e}k) mely\-ben v{\'a}ku\-um van. A k{\"u}ls{\H o} l{\'e}gnyom{\'a}s  \( p_{0} \).
\begin{enumerate}
\item[a/] {\'I}rjuk le az {\"u}reg fal{\'a}nak vi\-sel\-ked{\'e}s{\'e}t!

\item[b/] Ho\-gyan mo\-zog az {\"u}reg\-ben egy kez\-det\-ben  \( v_{0} \)\ ra\-di{\'a}lis se\-bess{\'e}g{\H u} 'k{\"o}nny{\H u}',
a fal\-lal ru\-gal\-ma\-san {\"u}tk{\"o}z{\H o} r{\'e}szecs\-ke?

\item[c/] Ho\-gyan m{\'o}do\-sul a hely\-zet, ha a bu\-bor{\'e}kot kez\-det\-ben  \( p_{0} \) nyom{\'a}s{\'u} g{\'a}z
t{\"o}lti ki, a k{\"u}ls{\H o} nyom{\'a}s pe\-dig  
\mbox{\( p=p_{0}\,\cos(\omega t) \)} sze\-rint v{\'a}lto\-zik? Mek\-ko\-ra 
lesz a
mi\-nim{\'a}lis bu\-bor{\'e}km{\'e}ret? Ho\-gyan v{\'a}lto\-zik a g{\'a}z 
h{\H o}m{\'e}rs{\'e}kle\-te?
\end{enumerate}

\vspace{-0.4cm}
\bFL 
(Csa\-bai Istv\'an) 
\eFL

\item
Ami\-kor a sz\H{o}l\H{o}f\"urt\"ot meg\-mos\-suk, m\'eg el\'eg sok v\'{\i}z
ta\-pad meg (a fel\"ule\-ti fesz\"ults\'eg mi\-att) ben\-ne, 
amit k\'es\H{o}bb 
\'ova\-tos  r\'azo\-gat\'as\-sal elt\'avol\'{\i}tha\-tunk. (Term\'esze\-te\-sen a 
sz\H{o}l\H{o}sze\-me\-ket
nem s\'ert\-juk meg.)
Me\discretionary{ny-}{ny}{nny}i v\'{\i}z \'es ho\-gyan ma\-rad\-hat ezut\'an ben\-ne?
Mo\-del\-lezz\"uk a sz\H{o}l\H{o}f\"urt\"ot egy\-for\-ma su\-gar\'u, 
r\"ogz\'{\i}tett g\"omb\"ok\-kel,
ame\-lyek\-kel a le\-het\H{o} legs\H{u}r\H{u}bben van kit\"olt\-ve a 
v\'eg\-te\-len t\'er,
\'es a f\"urt m\'ast (pl. a sz\H{o}l\H{o}sze\-me\-ket tart\'o v\'azat) 
nem tar\-tal\-maz.
Mi\-lyen felt\'ete\-lek\-kel \'es me\discretionary{ny-}{ny}{nny}i v\'{\i}z ma\-rad\-hat eb\-ben a 
szer\-ke\-zet\-ben?
(Megk\"ove\-telj\"uk, hogy a "v\'{\i}zt\'ocsa" le\-gyen 
"\"o\discretionary{sz-}{sz}{ssz}ef\"ugg\H{o}").

Van-e sze\-re\-pe az el\-ha\-nya\-golt v\'az\-nak a re\'alis sz\H{o}l\H{o} 
eset\'eben?
Van-e sze\-re\-pe a sze\-mek m\'eret\'enek?
Ja\-vas\-lat: Pr\'ob\'al\-juk meg\-fi\-gyel\-ni a je\-lens\'eget 
k\'{\i}s\'er\-le\-ti\-leg is!

\vspace{-0.4cm}
\bFL (Ve\-res G\'abor) \eFL

\item

K\"oz\-is\-mert dog\-ma, hogy a meg\-ma\-ra\-d\'a\-si t\'e\-te\-lek szim\-met\-ri\-\'ak k\"o\-vet\-kez\-m\'e\-nyei.
Spe\-ci\-\'a\-li\-san a kla\discretionary{sz-}{sz}{ssz}i\-kus t\'e\-rel\-m\'e\-let\-ben min\-den foly\-to\-nos szim\-met\-ri\-\'a\-nak 
egy meg\-ma\-ra\-d\'o me\discretionary{ny-}{ny}{nny}i\-s\'eg\-re fel\-\'\i{}r\-ha\-t\'o kon\-ti\-nu\-\'\i{}\-t\'a\-si egyen\-let fe\-lel meg.
Mi\-lyen szim\-met\-ria k\"o\-vet\-kez\-m\'e\-nye a hid\-ro\-di\-na\-mi\-ka k\"oz\-is\-mert kon\-ti\-nu\-\'\i{}\-t\'a\-si
egyen\-le\-te ?

\bFL 
(D\'a\-vid Gyu\-la) 
\eFL


\item

For\-gas\-sunk egy $\mu(x)$ t\"o\-me\-ge\-losz\-l\'a\-s\'u, $L$
 ho\discretionary{sz-}{sz}{ssz}\'u\-s\'a\-g\'u
$k$ ru\-gal\-mas\-s\'a\-gi \'al\-lan\-d\'o\-j\'u, egy\-di\-men\-zi\-\'os\-nak te\-kin\-tett ru\-dat $\omega$ sz\"og\-se\-bes\-s\'eg\-gel
a hossz\-ten\-ge\-lye k\"o\-r\"ul. Mint 
az k\"oz\-tu\-do\-m\'a\-s\'u, egy bi\-zo\-nyos $\omega > \omega_{\circ}$  sz\"og\-se\-bes\-s\'eg f\"o\-l\"ott a r\'ud
"ki\-haj\-lik", sta\-bil egyen\-s\'u\-lyi hely\-ze\-te t\"ob\-b\'e nem a 
k\'et v\'eg\-pont\-j\'at \"o\discretionary{sz-}{sz}{ssz}e\-k\"o\-t\H o egye\-nes 
lesz.

Ha\-t\'a\-roz\-zuk meg ezt az $\omega_{\circ}$ sz\"og\-se\-bes\-s\'e\-get!

\'Ut\-mu\-ta\-t\'as: \'Ir\-juk f\"ol a rend\-szer Gre\-en-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et, \'es n\'ez\-z\"uk \'at az 
in\-teg\-r\'a\-le\-gyen\-le\-tek el\-m\'e\-le\-t\'et!

\bFL 
(Hantz P\'eter) 
\eFL


\item

	Ad\-junk meg olyan k\'{\i}s\'er\-le\-ti el\-j\'a\-r\'ast, ame\discretionary{ly-}{ly}{lly}el a f\'eny ter\-jed\'esi 
se\-bes\-s\'e\-g\'et a t\'er k\'et pont\-ja k\"o\-z\"ott nem egy 
oda-\mbox{vi\discretionary{sz-}{sz}{ssz}a} \'uton m\'er\-het\-j\"uk 
meg, ha\-nem csak egyet\-len ir\'any\-ban! Eset\-leg mu\-tas\-suk meg, hogy ez 
le\-he\-tet\-len! Fejt\-s\"uk ki to\-v\'ab\-b\'a, hogy mi\-lyen ha\-t\'as\-sal van ez a 
prob\-l\'e\-ma a re\-la\-ti\-vi\-t\'a\-sel\-m\'e\-let\-re!	

\bFL
(Sza\-b\'o L\'asz\-l\'o)
\eFL

\item

A re\-la\-ti\-visz\-ti\-kus hid\-ro\-di\-na\-mi\-k\'a\-ban di\discretionary{sz-}{sz}{ssz}i\-pa\-t\'\i{}v fo\-lya\-ma\-tok je\-len\-l\'e\-t\'e\-ben 
a (nyu\-gal\-mi) s\H u\-r\H u\-s\'eg \"on\-ma\-g\'a\-ban nem 
\mbox{el\-\'e\-g\'\i{}\-ti} ki a kon\-ti\-nu\-\'\i{}\-t\'a\-si egyen\-le\-tet, 
csak ak\-kor, ha egy m\'a\-sik, a n\'e\-gyes\-se\-bes\-s\'eg\-re me\-r\H o\-le\-ges vek\-tort is 
hoz\-z\'a\-a\-dunk. Mi le\-het en\-nek a fi\-zi\-kai je\-len\-t\'e\-se? A kon\-ti\-nu\-\'\i{}\-t\'a\-si egyen\-le\-tet 
szo\-k\'as az anyag\-meg\-ma\-ra\-d\'as t\"or\-v\'e\-nye ma\-te\-ma\-ti\-kai alak\-j\'a\-nak te\-kin\-te\-ni. Ta\-l\'an 
ese\-t\"unk\-ben nem tel\-je\-s\"ul a meg\-ma\-ra\-d\'a\-si t\"or\-v\'eny?

\bFL 
(D\'a\-vid Gyu\-la) 
\eFL

\item

Ma\-d\'ach ide\-j\'e\-ben m\'eg \'ugy gon\-dol\-t\'ak az em\-be\-rek, hogy a Nap me\-le\-g\'et a ben\-ne 
el\-\'e\-g\H o sz\'en biz\-to\-s\'\i{}t\-ja. A Nap t\"o\-me\-g\'e\-b\H ol \'es a ki\-\'a\-ram\-l\'o h\H o\-me\discretionary{ny-}{ny}{nny}i\-s\'eg\-b\H ol
ki\-sz\'a\-m\'\i{}\-tot\-t\'ak, hogy a Nap to\-v\'ab\-bi \"ot\-e\-zer \'evig fog vi\-l\'a\-g\'\i{}\-ta\-ni. Be\-cs\"ul\-j\"uk
meg, hogy va\-l\'o\-j\'a\-ban me\discretionary{ny-}{ny}{nny}i ide\-ig tart egy ek\-ko\-ra m\'e\-re\-t\H u \'es
t\"o\-me\-g\H u test ki\-h\H u\-l\'e\-se az ener\-gi\-a\-ter\-me\-l\H o fo\-lya\-ma\-tok le\-\'al\-l\'a\-sa ut\'an!

\bFL
(Ve\-res G\'a\-bor)
\eFL

\item

Egy t\"olt\'es elekt\-rosz\-ta\-ti\-kus t\'er\-ben mo\-zog. A t\'er sok 
v\'elet\-len\-szer\H{u} elekt\-ro\-mos t\'er szu\-per\-poz\'{\i}ci\'oj\'ab\'ol
ala\-kul ki, me\-lye\-ket egym\'ast\'ol f\"ug\-get\-len forr\'asok 
hoz\-nak l\'et\-re. Mek\-ko\-ra an\-nak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, 
hogy a t\"olt\'es \'al\-tal ki\-sug\'ar\-zott f\'eny le\-ga\-la\-cso\-nyabb 
frek\-ven\-ci\'aja $\omega$ \'es $\omega+d\omega$ k\"oz\'e esik?
Tegy\"uk fel, hogy a t\"olt\'es csak s\'{\i}kban mo\-zog\-hat!

\bFL 
(Poll\-ner P\'e\-ter)
\eFL

\item

Le\-gye\-nek ${\bf E}$ es ${\bf B}$ szta\-ti\-kus, for\-r\'as\-men\-tes elekt\-ro\-mos, il\-let\-ve m\'ag\-ne\-ses me\-z\H ok
${\rm I\!\! R}^3$-on, me\-lyek (v\'eg\-te\-len) sok\-szor di\discretionary{f-}{f}{ff}e\-ren\-ci\-\'al\-ha\-t\'o\-ak. Te\-gy\"uk f\"ol to\-v\'ab\-b\'a,
hogy tel\-je\-s\'\i{}\-tik a k\"o\-vet\-ke\-z\H o (Bo\-go\-molny-)egyen\-le\-tek va\-la\-me\-lyi\-k\'et:

       $$                        {\bf E}= \pm {\bf B}.
$$

Bi\-zo\-ny\'\i{}t\-suk be, hogy ame\discretionary{ny-}{ny}{nny}i\-ben ezek az egyen\-le\-tek egy v\'e\-ges ener\-gi\-\'a\-j\'u 
kon\-fi\-gu\-r\'a\-ci\-\'ot \'\i{}r\-nak le, ak\-kor ${\bf E}=0$ \'es ${\bf B}=0$!

\'Ut\-mu\-ta\-t\'as: vizs\-g\'al\-juk a me\-z\H ok v\'eg\-te\-len\-be\-li csa\-va\-ro\-d\'a\-s\'at!	

\vspace*{-0.6cm}
\bFL 
(Ete\-si G\'a\-bor)
\eFL

\item

Sz\'amol\-juk ki a kla\discretionary{sz-}{sz}{ssz}i\-kus ide\'alis g\'az \'al\-la\-pot\"o\discretionary{sz-}{sz}{ssz}eg\'et, \'es
ugyan\-ezt N db f\"ug\-get\-len s\'{\i}krot\'ator\-ra is! 
Hat\'aroz\-zuk meg az entr\'opi\'at! 

Mi\'ert kell a k\'et eset\-ben 
k\"ul\"onb\"oz\H{o} m\'odon norm\'al\-nunk, hogy ex\-tenz\'{\i}v 
po\-ten\-ci\'alt kap\-junk?

\vspace{-0.4cm}
\bFL 
(Poll\-ner P\'eter) 
\eFL

\item

Mint tud\-juk, a g\'az ki\-t\"ol\-ti a ren\-del\-ke\-z\'e\-s\'e\-re \'al\-l\'o te\-ret. Spe\-ci\-\'a\-li\-san:
ha egy ed\'eny egyik fe\-l\'et meg\-t\"olt\-j\"uk g\'az\-zal, a m\'a\-sik fe\-le pe\-dig \"ures,
\'es el\-t\'a\-vo\-l\'\i{}t\-juk az el\-v\'a\-lasz\-t\'o fa\-lat, ak\-kor a g\'az\-mo\-le\-ku\-l\'ak ha\-ma\-ro\-san 
egyen\-le\-te\-sen t\"ol\-tik be az ed\'eny mind\-k\'et fe\-l\'et. A sta\-tisz\-ti\-kus me\-cha\-ni\-ka
ezt ha\-gyo\-m\'a\-nyo\-san \'ugy ma\-gya\-r\'az\-za, hogy azt a mak\-ro\-\'al\-la\-po\-tot, amely\-ben
az ed\'eny mind\-k\'et r\'e\-sz\'e\-ben van g\'az, j\'o\-val t\"obb mik\-ro\-\'al\-la\-pot va\-l\'o\-s\'\i{}t\-ja
meg, mint az aszim\-met\-ri\-kus el\-osz\-l\'ast, ez\'ert az el\H ob\-bi j\'o\-val va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H ubb.

A kvan\-tum\-me\-cha\-ni\-k\'a\-ban azon\-ban a r\'e\-szecs\-k\'ek meg\-k\"u\-l\"on\-b\"oz\-tet\-he\-tet\-le\-nek.
Az az \'al\-la\-pot te\-h\'at, amely\-ben csak az ed\'eny egyik fe\-l\'e\-ben van g\'az, 
\'ep\-pen \'ugy egyet\-len kvan\-tu\-m\'al\-la\-pot, mint az a m\'a\-sik, ami\-kor egyen\-le\-tes 
az el\-osz\-l\'as az eg\'esz ed\'eny\-ben, hi\-szen az egyes r\'e\-szecs\-k\'ek pusz\-ta
cse\-re\-be\-r\'e\-je nem ve\-zet \'uj \'al\-la\-pot\-hoz. A sta\-tisz\-ti\-kus fi\-zi\-ka ha\-gyo\-m\'a\-nyos
\'er\-ve te\-h\'at el\-e\-sik. Mi\-\'ert ta\-pasz\-tal\-juk m\'eg\-is, hogy -- kvan\-tum\-el\-m\'e\-let ide,
Pa\-u\-li-elv oda -- a g\'az m\'eg\-is\-csak be\-t\"ol\-ti a tel\-jes ed\'enyt?

\bFL 
(Gn\"adig P\'eter) 
\eFL

\item 

A kla\discretionary{sz-}{sz}{ssz}i\-kus me\-cha\-ni\-ka vi\-ri\-\'al\-t\'e\-te\-le  \"o\discretionary{sz-}{sz}{ssz}e\-f\"ug\-g\'est \'al\-la\-p\'\i{}t meg egy kor\-l\'a\-tos 
moz\-g\'ast v\'eg\-z\H o rend\-szer ki\-ne\-ti\-kus \'es po\-ten\-ci\-\'a\-lis ener\-gi\-\'a\-j\'a\-nak id\H o\-be\-li 
\'at\-la\-g\'ert\'eke \'es a tel\-jes ener\-gia k\"o\-z\"ott. K\"u\-l\"o\-n\"o\-sen egy\-sze\-r\H u az \"o\discretionary{sz-}{sz}{ssz}e\-f\"ug\-g\'es 
olyan k\"ol\-cs\"on\-ha\-t\'a\-si po\-ten\-ci\-\'al ese\-t\'en, amely a t\'a\-vol\-s\'ag\-nak $n$-ed\-fo\-k\'u ho\-mo\-g\'en 
f\"ugg\-v\'e\-nye (Lan\-dau I. k\"o\-tet).

Ha\-son\-l\'o k\'ep\-let \'er\-v\'e\-nyes a kvan\-tum\-me\-cha\-ni\-k\'a\-ban, de nem id\H o\-be\-li \'at\-lag\-ra, ha\-nem 
v\'ar\-ha\-t\'o \'er\-t\'ek\-re pl. a hid\-ro\-g\'en\-a\-tom ese\-t\'en 
(Cons\-tan\-ti\-nes\-cu--Ma\-gya\-ri: 
Kvan\-tum\-me\-cha\-ni\-ka fe\-la\-da\-tok, III/8. fe\-la\-dat).

Vizs\-g\'al\-juk meg a k\'e\-te\-lekt\-ro\-nos h\'e\-li\-u\-ma\-tom ese\-t\'et, ahol mind\-h\'a\-rom 
r\'e\-szecs\-ke\-p\'ar k\"o\-z\"ott $n = -1$ fo\-k\'u ho\-mo\-g\'en po\-ten\-ci\-\'al k\"oz\-ve\-t\'\i{}\-ti az elekt\-ro\-mos
k\"ol\-cs\"on\-ha\-t\'ast. Fenn\-\'all-e a vi\-ri\-\'al\-t\'e\-tel? Ho\-gyan be\-fo\-ly\'a\-sol\-ja a vi\-szo\-nyo\-kat
a kvan\-tum\-me\-cha\-ni\-k\'a\-ra jel\-lem\-z\H o \'un. ki\-cse\-r\'e\-l\H o\-d\'e\-si k\"ol\-cs\"on\-ha\-t\'as?

\bFL
(Gy\"or\-gyi G\'e\-za -- D\'avid Gyu\-la)
\eFL


\item

Mo\-del\-lezz\"uk a me\-nek\"ul\H{o} \H{u}r-l\'egy mozg\'as\'at!

  A MIR \H{u}r\'al\-lom\'ason a leg\'ujabb ga\-lib\'at egy l\'egy okoz\-za.
Ez ko\-moly gon\-dot
okoz az \H{u}rhaj\'osok\-nak, mert za\-var\-ja \H{o}ket munk\'ajuk\-ban. 
Ez\'ert is k\'erik az
ort\-vayz\'ok seg\'{\i}ts\'eg\'et.
  A l\'egy mozg\'as\'at a vi\-de\-o\-felv\'ete\-lek alapj\'an a k\"ovet\-kez\H{o}
jel\-lem\-zi: a l\'egy a
s\'uly\-ta\-lans\'ag \'al\-la\-pot\'aban sem\-mi\-lyen kit\"un\-te\-tett ir\'anyt nem k\'epes
\'erz\'ekel\-ni (se a gra\-vit\'aci\'os, se a m\'ag\-ne\-ses t\'er nincs hat\'as\-sal
mozg\'as\'ara). A
l\'egy -- \'ert\-het\H{o}en -- p\'anik\-han\-gu\-lat\-ban van, ez\'ert ma\-xim\'alis (\'es
mozg\'asa sor\'an
\'al\-land\'o nagys\'ag\'u) se\-bess\'eg\-gel rep\"ul. Mozg\'as\'anak ir\'any\'at csak a
 gon\-do\-la\-ta\-i\-ban
lej\'atsz\'od\'o za\-va\-ros fo\-lya\-ma\-tok be\-foly\'asolj\'ak. Ezekr\H{o}l csak
a\discretionary{ny-}{ny}{nny}it tu\-dunk,
hogy azok az id\H{o}ben "egyen\-le\-te\-sen za\-va\-ro\-sak" (a l\'egyp\-szi\-chol\'ogia meg
gye\-rek\-cip\H{o}ben j\'ar\'o tu\-dom\'any).
\begin{enumerate}
  \item[a/] \'Ir\-juk le a l\'egy mozg\'as\'at!
  \item[b/] Jel\-le\-mezz\"uk a l\'egy mozg\'as\'anak p\'aly\'aj\'at!
  \item[c/] Ho\-gyan tudn\'ank a mozg\'as le\'{\i}r\'asa sor\'an 
fi\-gye\-lem\-be ven\-ni a fa\-la\-kat?
  \item[d/] Az \H{u}rhaj\'osok meg\-el\'ege\-lik az ud\-va\-ri\-at\-lan \'al\-la\-tot, \'es
 meg\'al\-la\-pod\-nak
ab\-ban, hogy a le\-gyet a zsi\-lip\-kamr\'aba z\'arj\'ak (ezt egy vi\-szony\-lag kes\-keny
r\'es z\'ar\-ja el az \H{u}rhaj\'o t\"ob\-bi r\'esz\'et\H{o}l, a r\'es
nyit\-hat\'o-z\'ar\-hat\'o). A $t=0$ id\H{o}pont\-ban a le\-gyet a zsi\-lip\-kam\-ra
aj\-taj\'anak k\"ozel\'eben l\'att\'ak. A mozg\'as
kvan\-ti\-tat\'{\i}v jel\-lemz\'ese alapj\'an \'ugy gon\-dolj\'ak, a l\'egy bi\-zo\-nyos
id\H{o}pon\-tok\-ban val\'osz\'{\i}n\H{u}bben tart\'oz\-ko\-dik a zsi\-lip k\"ozel\'eben. Meg tud\-juk-e
\'al\-lap\'{\i}ta\-ni mo\-dell\"unk pil\-la\-nat\-nyi \'all\'asa sze\-rint, me\-lyek ezek az
id\H{o}pon\-tok?
\end{enumerate}

\bFL 
(Al\'acs P\'eter) 
\eFL


\item

Egy n\'egy\-zet mind\-e\-gyik sark\'aban egy-egy spin \"ul, me\-lyek 
k\"oz\"ott csak els\H{o}szomsz\'ed 
k\"olcs\"on\-hat\'ast felt\'ete\-lez\-ve a rend\-szer Ha\-mil\-ton f\"uggv\'enye (kla\discretionary{sz-}{sz}{ssz}i\-kus rend\-szer)
$$
H=\eta \,{\bf S}_1 \cdot {\bf S}_2 - {\bf S}_2 \cdot {\bf S}_3  
- {\bf S}_3 \cdot {\bf S}_4 - {\bf S}_4 \cdot {\bf S}_1, \nonumber
$$
ahol $\eta  \in \left[ -1, \infty \right[$,  \'es mind\-e\-gyik spin 
egys\'eg\-nyi hossz\'us\'ag\'u, az\-az 
$${({\bf S}_i)}^2 =1, \quad i=1, \cdots, 4.$$
%(Az egy\'ertelm\H{u}s\'eg kedv\'e\'ert az 
%els\H{o} spin a n\'egyzet bal als\'o  sark\'aban van, melyet a t\"obbi az \'oramutat\'o 
%j\'ar\'as\'aval ellent\'etes ir\'anyban k\"ovet.)

Hat\'aroz\-zuk meg a rend\-szer alap\'al\-la\-pot\'at az $\eta$ pa\-ram\'eter f\"uggv\'eny\'eben!  
Me\discretionary{ny-}{ny}{nny}i alap\'al\-la\-pot\-ban a rend\-szer ener\-gi\'aja, ill.\  a m\'ag\-ne\-se\-zetts\'ege? 

\bFL 
(Cser\-ti J\'o\-zsef)
\eFL

\item

Vizs\-g\'al\-juk meg a
$$
H(x,p)=x^2 p^2 -\frac{1}{x^2}
$$
Ha\-mil\-ton-f\"ugg\-v\'e\discretionary{ny-}{ny}{nny}el le\-\'\i{}rt egy\-di\-men\-zi\-\'os me\-cha\-ni\-kai rend\-szer kla\discretionary{sz-}{sz}{ssz}i\-kus
\'es kvan\-tum\-me\-cha\-ni\-kai vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'et, moz\-g\'a\-sa\-it, ener\-gi\-a\-sa\-j\'a\-t\'al\-la\-po\-ta\-it,
spekt\-ru\-m\'at. For\-d\'\i{}t\-sunk nagy gon\-dot a Ha\-mil\-ton-ope\-r\'a\-tor meg\-konst\-ru\-\'a\-l\'a\-s\'a\-ra!

\bFL
(Baj\-nok Zolt\'an)
\eFL


\item

A par\-ci\-\'a\-lis hul\-l\'a\-mok m\'od\-sze\-re a cent\-r\'a\-lis po\-ten\-ci\-\'a\-lon t\"or\-t\'e\-n\H o ru\-gal\-mas 
sz\'o\-r\'as kvan\-tum\-me\-cha\-ni\-kai prob\-l\'e\-m\'a\-j\'at az egyes par\-ci\-\'a\-lis hul\-l\'a\-mok 
(im\-pul\-zus\-mo\-men\-tum-sa\-j\'a\-t\'al\-la\-po\-tok) aszim\-po\-ti\-kus alak\-j\'a\-b\'ol ki\-ol\-vas\-ha\-t\'o 
$\delta_l$ f\'a\-zi\-sel\-to\-l\'o\-d\'a\-sok se\-g\'\i{}t\-s\'e\-g\'e\-vel \'\i{}r\-ja le. L\'e\-tez\-het-e olyan $V(r)$ cent\-r\'a\-lis
po\-ten\-ci\-\'al (per\-sze a tri\-vi\-\'a\-lis, azo\-no\-san nul\-la po\-ten\-ci\-\'a\-lon k\'\i{}\-v\"ul), 
amely\-ben (r\"og\-z\'\i{}\-tett ener\-gi\-\'an) az \"o\discretionary{sz-}{sz}{ssz}es par\-ci\-\'a\-lis hul\-l\'am f\'a\-zi\-sel\-to\-l\'o\-d\'a\-sa
nul\-la, az\-az a rend\-szer szu\-pert\-ransz\-pa\-rens?

\bFL
(D\'avid Gyu\-la)
\eFL

\item

Hat\'aroz\-zuk meg a ful\-ler\'en-mo\-le\-ku\-la (C$_{60}$) ener\-gi\-a\-szint\-je\-it 
szo\-ros k\"ot\'es\H u elekt\-ron k\"ozel\' \i t\'es\-ben! A mo\-dell\-ben tegy\"uk
fel, hogy az atomt\"or\-zsek t\'er\-ben \'ugy he\-lyez\-ked\-nek el, mint\-ha  egy
ful\-ler\'en-mo\-le\-ku\-la atom\-jai lenn\'enek, \'es er\-re a rend\-szer\-re
r\'atesz\"unk {\it egy} elekt\-ront. A Ha\-mil\-ton-oper\'ator a k\"ovet\-kez\H o:
$$
\hat H |i\rangle = \epsilon _0 |i\rangle -  t \sum\limits_{j=0}^{60}
\alpha _{ij} |j\rangle
$$
ahol $|i\rangle$ jel\"oli azt az \'al\-la\-po\-tot, amely\-ben az elekt\-ron
az $i$-ik atom\-hoz k\"ot\H odik, tov\'abb\'a 
$\alpha _{ij} = 1$
ha $i$ \'es $j$ szomsz\'edos ato\-mo\-kat jel\"ol, egy\'ebk\'ent 0.
A fe\-la\-da\-tot a mo\-le\-ku\-la szim\-met\-ri\'ai\-nak fel\-haszn\'al\'as\'aval old\-juk meg!
Mit mond\-ha\-tunk az egyes ener\-gi\-a\-szin\-tek de\-ge\-ner\'alts\'agi fok\'ar\'ol?
(A meg\-old\'ast nu\-me\-ri\-kus m\'od\-sze\-rek\-kel el\-len\H oriz\-hetj\"uk!)

\bFL
(Far\-kas Z\'en\'o)
\eFL

\item

Te\-kints\"uk a k\"ovet\-kez\H o \'un. de\-ko\-he\-ren\-cia-mo\-dellt, amely
a mak\-rosz\-ko\-pi\-kus tes\-tek kla\discretionary{sz-}{sz}{ssz}i\-kus tu\-laj\-dons\'aga\-it 
k\'{\i}v\'an\-ja a kvan\-tum\-me\-cha\-nik\'ab\'ol le\-ve\-zet\-ni:

Egy di\-men\-zi\'oban mo\-zog egy $M$ t\"omeg\H u pont\-szer\H u
r\'eszecs\-ke, me\discretionary{ly-}{ly}{lly}el $n$ db $m$ t\"omeg\H u, ugyan\-csak
egy di\-men\-zi\'oban mozg\'o r\'eszecs\-ke \"utk\"ozik. Le\-gyen $M\, \gg\, n\, m$
(pl. g\'aza\-to\-mok \"utk\"oz\-nek egy nagy t\"omeg\H u r\'eszecsk\'evel -- 
Brown-mozg\'as). A k\"onny\H u r\'eszecsk\'ek egym\'as\-sal nem hat\-nak 
k\"olcs\"on,
a neh\'ez \'es a k\"onny\H u r\'eszecsk\'ek k\"olcs\"on\-hat\'as\'at
pe\-dig k\"ozel\'{\i}ts\"uk me\-revg\"omb-po\-ten\-ci\'al\-lal. A k\"onny\H u
r\'eszecsk\'ek kez\-de\-ti hull\'amf\"uggv\'enye le\-gyen
$$
\frac{1}{\sqrt[4]{2\pi \sigma^2}}\exp \left(-\frac{(x_j-x_j^{0})^2}{4\sigma^2}+i\frac{p_j^0 x_j}{\hbar}\right)\,,
$$

ahol $x_j^0, p_j^0, \sigma$ kons\-tans, $x_j$ a $j$-edik r\'eszecs\-ke 
ko\-or\-din\'at\'aja.
A neh\'ez r\'eszecs\-ke kez\-de\-ti hull\'amf\"uggv\'enye  $\psi(X)$.

Sz\'am\'{\i}tsuk ki a neh\'ez r\'eszecs\-ke $\rho(X,X')$ re\-duk\'alt
s\H ur\H us\'egm\'at\-rix\'at! (ld. Lan\-dau: Elm\'ele\-ti fi\-zi\-ka III.) 
T\'ete\-lezz\"uk fel, hogy a neh\'ez r\'eszecs\-ke meg\-fi\-gyel\-het\H o
tu\-laj\-dons\'aga\-it re\-duk\'alt s\H ur\H us\'egm\'at\-rix\'anak
saj\'at\'al\-la\-po\-tai, az\-az az
$$\int_{-\infty}^\infty dX' \rho(X,X')\varphi_j(X')=p_j \varphi_j(X)$$
egyen\-let $\varphi_j(X)$ meg\-old\'asai \'{\i}rj\'ak le. Sz\'am\'{\i}tsuk ki
eze\-ket a f\"uggv\'enye\-ket \'es el\H ofor\-dul\'asuk $p_j$ 
val\'osz\'{\i}n\H us\'eg\'et, ha

\begin{enumerate}
\item[a/] 
\vspace{-0.1cm}
 $$\psi(X)=\alpha
\frac{1}{\sqrt[4]{2\pi \sigma_0^2}}\exp \left(-\frac{(X+a)^2}{4\sigma_0^2}\right)
+\beta \frac{1}{\sqrt[4]{2\pi \sigma_0^2}}\exp \left(-\frac{(X-a)^2}{4\sigma_0^2}\right)\,,
$$
ahol $\alpha\ne \beta$ \'es $\sigma_0<<\frac{\sigma}{\sqrt{n}}<<a$,
az\-az $\psi(X)$ k\'et kes\-keny, egym\'ast\'ol t\'avol lev\H o Ga\-uss-f\"uggv\'eny
szu\-per\-poz\'{\i}ci\'oja,


\vspace*{-.1cm} \item[b/] 
 $$\psi(X)=
\frac{1}{\sqrt[4]{2\pi \sigma_0^2}}\exp \left(-\frac{X^2}{4\sigma_0^2}\right)\,,
$$
ahol $\sigma_0>>\sigma$, az\-az $\psi(X)$ egyet\-len sz\'el\-es Ga\-uss-f\"uggv\'eny.
\end{enumerate}

Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\varphi_j$ f\"uggv\'enye\-ket 
im\-pul\-zus\-rep\-re\-zent\'aci\'oban is! \"Ossz\-hang\-ban van\-nak-e a 
mo\-dellb\H ol le\-von\-hat\'o fi\-zi\-kai k\"ovet\-kez\-tet\'esek a ta\-pasz\-ta\-lat\-tal?

\vspace*{-0.4cm}
\bFL 
(Be\-ne Gyu\-la) 
\eFL


\item

Ala\-csony h\H o\-m\'er\-s\'ek\-le\-ten a na\-nom\'ete\-res \'atm\'er\H{o}j\H{u},
tisz\-ta  ve\-zet\H{o} sz\'alak ve\-ze\-t\H o\-k\'e\-pes\-s\'e\-ge kvan\-t\'alt.
Egy v\'eg\-te\-len ho\discretionary{sz-}{sz}{ssz}\'u, egye\-nes ve\-ze\-t\'ek ve\-ze\-t\H o\-k\'e\-pes\-s\'e\-g\'et a k\"o\-vet\-ke\-z\H o 
k\'ep\-let ad\-ja meg:
 
$$ G=N\cdot (2e^2/h),$$

ahol $e$ az elekt\-ron t\"ol\-t\'e\-se, $h$ a Planck-\'al\-lan\-d\'o, 
$N$ pe\-dig az $E_F$ Fer\-mi-ener\-gi\-\'an nyi\-tott csa\-torn\'ak sz\'a\-ma. A nyi\-tott
csa\-torn\'ak a Schr\"o\-din\-ger-egyen\-let\-nek a dr\'ot\-ban ter\-je\-d\H o hul\-l\'a\-mo\-kat le\-\'\i{}\-r\'o
$E_F$ ener\-gi\-\'a\-j\'u meg\-ol\-d\'a\-sai:
$$
\psi(x,y,z,E_F)=\Phi_{n,m}(x,y)e^{ik_{n,m}z},
$$
ahol $z$ a dr\'ot\-tal p\'ar\-hu\-za\-mos,  $x$ \'es $y$ pe\-dig a r\'a me\-r\H o\-le\-ges
ko\-or\-di\-n\'a\-ta. A $k_{n,m}$ hull\'amsz\'am az $n$ \'es $m$ 
kvan\-tumsz\'amokt\'ol f\"ugg\H{o}, val\'os \'ert\'ek. 
A $\psi(x,y,z,E_F)$ hul\-l\'am\-f\"ugg\-v\'eny a dr\'o\-ton k\'\i{}\-v\"ul \'es a dr\'ot fel\"ulet\'en el\-t\H u\-nik.
Sz\'a\-m\'\i{}t\-suk ki a k\"or \'es a n\'egy\-zet ke\-reszt\-met\-sze\-t\H u ve\-ze\-t\'ek ve\-ze\-t\H o\-k\'e\-pes\-s\'eg\'et
a Fer\-mi-ener\-gia f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-ben!
Az elekt\-ro\-nok k\"oz\-ti k\"olcs\"on\-hat\'ast az e\discretionary{f-}{f}{ff}ekt\'{\i}v t\"omeg\-gel
vessz\"uk fi\-gye\-lem\-be, ez\'ert az elekt\-ro\-nok sza\-bad\-nak te\-kint\-het\H{o}k.

\vspace*{-0.4cm}
\bFL 
(Vat\-tay G\'a\-bor -- Cser\-ti J\'ozsef) 
\eFL

\item

Te\-kint\-s\"unk egy k\'et\-di\-men\-zi\-\'os kvan\-tum\-me\-cha\-ni\-kai rend\-szert, 
mely\-nek
po\-ten\-ci\-\'al\-ja a k\"o\-vet\-ke\-z\H o ala\-k\'u: \\
\mbox{$V(x,y)=\alpha y^2$}, ahol $x$ \'es $y$ a 
k\'et s\'\i{}k\-be\-li ko\-or\-di\-n\'a\-ta. 

Mek\-ko\-ra lesz a rend\-szer ve\-ze\-t\H o\-k\'e\-pess\'ege, ha \'ugy k\'ep\-zel\-j\"uk, 
hogy az elekt\-ro\-no\-kat a po\-ten\-ci\-\'al\-v\'a\-ly\'u egyik v\'e\-g\'en (kv\'a\-zi $x=-\infty$) 
be\-en\-ged\-j\"uk, \'es azt vizs\-g\'al\-juk, hogy a m\'a\-sik v\'e\-g\'e\-re (kv\'a\-zi $x=\infty$) 
h\'any jut el? Ek\-kor a hul\-l\'am\-f\"ugg\-v\'enyt \'ugy ke\-res\-het\-j\"uk, 
mint egy ($x$ ir\'any\-ban) ha\-la\-d\'o hul\-l\'am \'es egy ke\-reszt\-i\-r\'a\-ny\'u ($y$ ir\'a\-ny\'u) 
m\'o\-dus szor\-za\-t\'at: $e^{-ik_nx}\cdot u_n(y)$. 
Azt mond\-juk, hogy az elekt\-ron az $r$-ik csa\-tor\-n\'a\-ban van, ha a ke\-reszt\-i\-r\'a\-ny\'u 
hul\-l\'am\-f\"ugg\-v\'e\-nye \'ep\-pen $u_r(y)$. 
A meg\-ol\-d\'as\-hoz hasz\-n\'al\-juk fel a 
Lan\-da\-u\-er-for\-mu\-l\'at, amely az \'at\-ju\-t\'a\-si va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gek (transz\-mi\discretionary{sz-}{sz}{ssz}i\-\'os 
m\'at\-ri\-xe\-le\-mek: $t_{nm}$) \'es a ve\-ze\-t\H o\-k\'e\-pes\-s\'eg k\"o\-z\"ott te\-remt kap\-cso\-la\-tot. 
(A $|t_{nm}|^2$ el\-e\-mek azt mond\-j\'ak meg, hogy az $n$-ik
 csa\-tor\-n\'a\-ba en\-ge\-dett 
elekt\-ron mi\-lyen va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'eg\-gel sz\'o\-r\'o\-dik \'at az $m$-ik 
csa\-tor\-n\'a\-ba.)

A fe\-la\-dat meg\-ol\-d\'a\-s\'a\-hoz hasz\-n\'al\-ha\-t\'o az al\'ab\-bi 
in\-ter\-net-ol\-da\-lon ta\-l\'al\-ha\-t\'o 
an\-gol, il\-let\-ve ma\-gyar nyel\-v\H u iro\-da\-lom is:

{\em http://ga\-la\-had.el\-te.\-hu/$\sim$ge\-gix/publ.html}

\vspace{-0.4cm}
\bFL 
(Sz\'al\-ka Ger\-gely) 
\eFL

\item

Ha a LEP gyor\-s\'\i{}\-t\'o alag\-\'ut\-j\'a\-ban \'ep\'\i{}\-te\-n\'e\-nek egy m\"u\-on-gyor\-s\'\i{}\-t\'ot, 
mek\-ko\-ra h\'at\-te\-ret \'esz\-lel\-n\'e\-nek a Gran Sas\-so 
ne\-ut\-r\'{\i}n\'o-de\-tek\-tor\-ban?

\bFL 
(Csil\-ling \'Akos)
\eFL


\item

Mint tud\-juk, az arisz\-to\-te\-l\'e\-szi me\-cha\-ni\-ka moz\-g\'a\-se\-gyen\-le\-te a k\"o\-vet\-ke\-z\H o ala\-k\'u
(lett vol\-na, ha ak\-ko\-ri\-ban m\'ar is\-me\-rik a di\discretionary{f-}{f}{ff}e\-ren\-ci\-\'al\-e\-gyen\-le\-te\-ket):
$$
{\bf \dot{r}}(t)={\bf e}({\bf r},t),
$$

ahol ${\bf r}(t)$ a r\'e\-szecs\-ke hely\-vek\-to\-ra, az ${\bf e}({\bf r},t)$ f\"ugg\-v\'eny, az \'un. {\em hi\-po\-e\-r\H o} pe\-dig a k\"or\-nye\-zet 
ha\-t\'a\-s\'at \'\i{}r\-ja le. Ilyen ha\-t\'as hi\-\'a\-ny\'a\-ban az egyen\-let meg\-ol\-d\'a\-sa  ${\bf r}=const.$, az\-az a tes\-tek 
ter\-m\'e\-sze\-tes \'al\-la\-po\-ta a nyu\-ga\-lom. Ga\-li\-lei \'ota a New\-ton-t\"or\-v\'eny van ha\-t\'aly\-ban:  
$$
{\bf \ddot{r}}(t)={\bf f}({\bf r},{\bf \dot{r}},t),
$$  
ahol ${\bf f}({\bf r},{\bf \dot{r}},t)$  a k\"oz\-is\-mert {\em er\H o}: az\-\'o\-ta az er\H o\-men\-tes tes\-tek ter\-m\'e\-sze\-tes \'al\-la\-po\-ta az 
egye\-nes vo\-na\-l\'u egyen\-le\-tes moz\-g\'as:
$\dot{\bf r}=const. $


A XXI. sz\'a\-zad haj\-na\-l\'an \'ujabb for\-ra\-da\-lom k\"o\-vet\-ke\-zik. 
J.\ B.\ Cur\-cas \'es
Lee ben Ca\-nal, a mes\-se\-wa\-ni
egye\-tem ku\-ta\-t\'oi nem\-r\'e\-gi\-ben pub\-li\-kalt\'ak 
[X Fi\-les, {\bf 42} (1997) p. 137.] az \'un. 
Ne\-wer\-ton-t\"or\-v\'enyt:
$$
{\bf \dddot{r}}(t)={\bf F}({\bf r},{\bf \dot{r}},\ddot{\bf r},t)
$$

ahol ${\bf F}({\bf r},{\bf \dot{r}},\ddot{\bf r},t)$ az \'un. 
{\em hi\-pe\-re\-r\H o}, amely a k\"or\-nye\-zet ha\-t\'a\-s\'at \'{\i}rja le.

Vizs\-g\'al\-juk meg az egyen\-let k\"o\-vet\-kez\-m\'e\-nye\-it! Ve\-zes\-s\"uk le a k\"oz\-is\-mert 
meg\-ma\-ra\-d\'a\-si t\'e\-te\-lek meg\-fe\-le\-l\H o\-it! Ke\-res\-s\"unk meg\-ol\-d\'a\-so\-kat n\'e\-h\'any egy\-sze\-r\H u 
eset\-ben, az\-az a jobb\-ol\-da\-lon sze\-rep\-l\H o hi\-pe\-re\-r\H o-f\"ugg\-v\'eny spe\-ci\-\'a\-lis v\'a\-lasz\-t\'a\-sa
ese\-t\'en (ja\-vas\-la\-tok: sza\-bad mozg\'as, sza\-bad\-e\-s\'es, 
har\-mo\-ni\-kus osz\-cil\-l\'a\-tor, hid\-ro\-g\'e\-na\-tom...)!
Vizs\-g\'al\-juk meg a gyor\-su\-l\'o ko\-or\-di\-n\'a\-ta\-rend\-sze\-rek\-ben fel\-l\'e\-p\H o iner\-ci\-a\-e\-r\H ok\-re
vo\-nat\-ko\-z\'o k\"oz\-is\-mert le\-ve\-ze\-t\'es meg\-fe\-le\-l\H o\-j\'et az \'uj id\H ok me\-cha\-ni\-k\'a\-j\'a\-ban, \'es
\'er\-tel\-mez\-z\"uk a fel\-l\'e\-p\H o iner\-cia-hi\-pe\-re\-r\H o\-ket! Pr\'o\-b\'al\-juk ki\-dol\-goz\-ni a Lag\-ran\-ge-
\'es a Ha\-mil\-ton-for\-ma\-liz\-mus \'uj v\'al\-to\-za\-t\'at, \'\i{}r\-juk fel a Ha\-mil\-ton--Ja\-co\-bi--Cur\-cas
egyen\-le\-tet \'es a Po\-is\-son--Ca\-nal z\'a\-r\'o\-je\-le\-ket! Te\-gy\"uk meg az el\-s\H o l\'e\-p\'e\-se\-ket
az \'uj me\-cha\-ni\-ka spe\-ci\'alis (hi\-per-)re\-la\-ti\-visz\-ti\-kus \'es kvan\-tum\-el\-m\'e\-le\-ti ki\-ter\-jesz\-t\'e\-se
ir\'a\-ny\'a\-ba! \"Ore\-geb\-bek fel\-\'\i{}r\-hat\-j\'ak a 
hi\-per-Schr\"o\-din\-ger egyen\-le\-tet is (eset\-leg
meg is old\-hat\-j\'ak)...

\bFL 
(D\'a\-vid Gyu\-la) 
\eFL

\item

G\'olyat\'abor... N fi\-zi\-kus fi\'u \'es N b\"olcs\'eszl\'any \"ul a pisl\'akol\'o
t\'abort\H uz mel\-lett $-$ nem me\discretionary{sz-}{sz}{ssz}e t\H ol\"uk N da\-rab, szi\-gor\'uan 
ko\-e\-duk\'alt k\'et\-szem\'elyes s\'ator. A s\'ator\-be\-oszt\'as fe\-la\-da\-ta 
Kvark Egon\-ra v\'ar. \\
Is\-me\-re\-tes, hogy min\-den\-ki \'at\-la\-go\-san $m$ m\'asik nem\-be\-li\-vel 
haj\-land\'o egy 
s\'ator\-ban alud\-ni $-$ de hogy ki ki\-vel, azt csak a j\'o Egon tud\-ja.
Ho\-gyan v\'ala\discretionary{sz-}{sz}{ssz}uk meg az $m(N)$ f\"uggv\'enyt, hogy Egon\-nak $50\%$ 
es\'elye le\-gyen a min\-den\-kit ki\-el\'eg\'{\i}t\H o s\'ator\-be\-oszt\'as 
elk\'esz\'{\i}t\'es\'ere? Ad\-juk meg $m(N)$ aszimp\-to\-ti\-kus vi\-sel\-ked\'es\'et, 
ha $N \rightarrow \infty$. \\
Adott $N$ mel\-lett de\-fi\-ni\'al\-juk az "Egon fels\"ul $-$ Egon nem s\"ul fel" 
\'at\-me\-net sz\'el\-ess\'eg\'et $(f(N))$. Ho\-gyan v\'al\-to\-zik $f(N)$, ha $N 
\rightarrow \infty$?

\bFL 
(Pir\'oth At\-ti\-la) 
\eFL



\end{enumerate}


{\tt $\backslash$end\{do\-cu\-ment\} }

\end{document}

Bi\-hary !!!!!!!!!!
