\documentstyle[]{article}
\setlength{\textwidth}{18.2cm}
\setlength{\textheight}{25.cm}
\setlength{\topmargin}{-2.5cm}
\setlength{\evensidemargin}{-1.cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-1.cm}

\begin{document}
\baselineskip0.3cm
\pagestyle{plain}

\newcommand{\ua}{\uparrow}
\newcommand{\da}{\downarrow}
\newcommand{\ID}{\raisebox{-1.2ex}{"}}

\newcommand{\e}{\begin{equation}} 
\newcommand{\ee}{\end{equation}} 
\newcommand{\bEQ}{\begin{eqnarray}} 
\newcommand{\eEQ}{\end{eqnarray}} 
\newcommand{\bOSZ}{\begin{array}} 
\newcommand{\eOSZ}{\end{array}} 
\newcommand{\bFL}{\begin{flushright}} 
\newcommand{\eFL}{\end{flushright}} 
\newcommand{\absz}[1]{\mbox{$\mid\!\!#1\!\!\mid$}}
						
\centerline{{\bf ORT\-VAY RU\-DOLF}}
\centerline{{\bf PROB\-L\'E\-MA\-ME\-GOL\-D\'O VER\-SENY FE\-LA\-DA\-TAI}}
\bigskip
\bigskip
\underline{Be\-a\-d\'a\-si ha\-t\'a\-ri\-d\H o}: {\bf 1996. no\-vem\-ber 11. (h\'et\-f\H o) $12^{00}$},\\
\underline{Pos\-ta\-c\'{\i}m}: {\bf D\'a\-vid Gyu\-la,  Fi\-zi\-kus Di\-\'ak\-k\"or, G\'o\-lya\-v\'ar,
Hall\-ga\-t\'oi Iro\-da, H-1088 Bu\-da\-pest, M\'u\-ze\-um k\"o\-r\'ut 6-8.} \\
Fa\-xon a (1)-266-2556 sz\'am\-ra le\-het k\"ul\-de\-ni a me\-gol\-d\'a\-so\-kat.
A fe\-la\-da\-tok sze\-m\'e\-lye\-sen a {\bf a G\'o\-lya\-v\'ar ru\-ha\-t\'a\-r\'a\-ban} ad\-ha\-t\'ok le.
A M\H u\-e\-gye\-te\-men Ker\-t\'esz J\'a\-nos pro\-fesszor\-n\'al, Sze\-ge\-den Szing At\-ti\-l\'a\-n\'al, 
Deb\-re\-cen\-ben Raj\-ta Ist\-v\'an\-n\'al le\-het le\-ad\-ni a me\-gol\-d\'a\-so\-kat.
E-ma\-i\-len La\-TeX-for\-m\'a\-tum\-ban a dgyludens.elte.hu c\'{\i}mre k\"uldhet\H ok a megold\'asok.


A feladatok megold\'asa sor\'an b\'armilyen seg\'edeszk\"oz haszn\'alhat\'o. Az
\'ert\'ekel\'es \'evfolyamonk\'ent t\"ort\'enik. Maximum 10 feladatot lehet beadni,
mindegyik feladat 100 pontot \'er. {\bf Minden feladatot  k\"ul\"on lapon,
n\'ev \'es  \'evfolyam felt\"untet\'es\'evel k\'er\"unk}. Azonos vagy k\"ozel azonos
\"osszpontsz\'am eset\'en a d\'{\i}jaz\'asn\'al el\H onyben r\'eszes\"ul az, aki
koroszt\'aly\'anak megfelel\H o feladatokb\'ol v\'alogatott.

A zs\H uri \'evfolyamonk\'ent nulla, egy vagy t\"obb els\H o, m\'asodik \'es harmadik d\'{\i}jat,
valamint d\'{\i}cs\'ereteket oszt ki. Ezekkel szponzoraink pillanatnyi adakoz\'o
kedv\'et\H ol f\"ugg\H o p\'enzjutalom is j\'ar, ennek m\'ert\'ek\'er\H ol jelenleg m\'eg nem tudunk
nyilatkozni. Egyes feladatok kiemelked\H o megold\'as\'a\'ert 1000 Ft-os k\"ul\"ond\'{\i}j
adhat\'o. M\'ar egy feladat\'ert is kaphat\'o d\'{\i}j, teh\'at egy-k\'et feladat
megold\'as\'at is \'erdemes beadni!

A legeredm\'enyesebb els\H o\'evesnek Di\'osi Lajos (KFKI) 10 000 Ft k\"ul\"ond\'{\i}jat
aj\'anlott fel. A 30. feladat kit\H uz\H oje, Cs\"org\H o Tam\'as (KFKI) feladata
legjobb megold\'oj\'at 5000 Ft-tal jutalmazza.

A verseny eredm\'enyhirdet\'ese Fizikus Mikul\'assal egybek\"otve 1996. december 5-\'en 
14 \'orakor kezd\H odik az ELTE TTK D \'ep\"ulet\'enek nagyterm\'eben. Az egyes
feladatok legjobb megold\'oit el\H ore felk\'erj\"uk, hogy megold\'asukat az
eredm\'enyhirdet\'es ut\'an ismertess\'ek.

Minden r\'esztvev\H onek j\'o versenyz\'est, tanuls\'agos \'es eredm\'enyes
feladatmegold\'ast k\'{\i}v\'an

\bFL az ELTE TTK Fizikus Di\'akk\"ore \'es a\\Magyar Fizikus Hallgat\'ok Egyes\"ulete\eFL
\bigskip 
\bigskip
\bigskip

\begin{enumerate}


\item 
	S\"or\"os\"uveget sz\'aj\'aval felfel\'e v\'{\i}zbe ejt\"unk. Els\"ullyed-e az \"uveg? Hogyan f\"ugg 
ez az ejt\'esi magass\'agt\'ol \'es a kezdetben az \"uvegben lev\H o v\'{\i}z mennyis\'eg\'et\H ol? 
Hogyan fog v\'eg\"ul \'uszni az \"uveg, ha nem s\"ullyed el: \'allva vagy fekve? 
(T\'etelezz\"uk fel, hogy az \"uveg a v\'{\i}z alatti mozg\'asa sor\'an mindv\'egig f\"ugg\H oleges
helyzetben marad!)
 
\bFL
(Bihary Zsolt)
\eFL

\item 
	V\'ekony m\H u\-a\-nyag po\-h\'ar\-b\'ol for\-r\'o te\-\'at iszo\-ga\-tunk. Ho\-gyan v\'al\-to\-zik
a po\-h\'ar alak\-ja?

\bFL (Farkas Z\'en\'o)\eFL

\item

	Stabiliz\'aljuk az egys\'{\i}n\H u villamos mozg\'as\'at egy nagy tehetetlens\'egi 
nyomat\'ek\'u p\"orgetty\H uvel!
	Hat\'arozzuk meg a p\"orgetty\H u minim\'alis sz\"ogsebess\'eg\'et! (A villamos 
geometriai m\'eretei \'es t\"omege adottak, a kerekek k\"oz\'epen, a szimmetriatengelyen 
helyezkednek el.) 
	Keress\"unk \"osszef\"ugg\'est a villamos sebess\'ege \'es a p\"orgetty\H u 
sz\"ogsebess\'ege k\"oz\"ott!
	¨rjuk le \'altal\'anosan a p\"orgetty\H uvel stabiliz\'alt egys\'{\i}n\H u villamos 
mozg\'as\'at! Haszn\'aljunk ciklikus koordin\'at\'akat! (Aj\'anlott irodalom: Landau I.
41. fejezet.)

\bFL (Bakucz P\'eter)\eFL

\item
	V\'{\i}zszintes asztallapon r\"ogz\'{\i}t\"unk egy f\"ugg\H oleges tengely\H u hengert, amire 
k\"otelet cs\'ev\'el\"unk. A k\"ot\'el fel nem cs\'ev\'elt r\'esz\'et feszesre h\'uzzuk, \'es a v\'eg\'ere
er\H os\'{\i}tett testet a k\"ot\'elre mer\H oleges kezd\H osebess\'eggel megl\"okj\"uk. Hogyan mozog 
a test, ha mozg\'asa a k\"otelet felcs\'ev\'eli a hengerre, \'es hogyan, ha letekeri? 
Vizsg\'aljuk a k\"ovetkez\H o eseteket:
\begin{description}
\item[a/] nincs s\'url\'od\'as;
\item[b/] a mozg\'o testre \'alland\'o nagys\'ag\'u s\'url\'od\'asi er\H o hat;
\item[c/] a s\'url\'od\'asi er\H o a sebess\'eggel ar\'anyos;
\item[d/] a s\'url\'od\'asi er\H o a sebess\'eg n\'egyzet\'evel ar\'anyos!
\end{description}

\bFL
(Bihary Zsolt)
\eFL

\item
	\'{I}rjuk le egy rugalmatlan, pontszer\H u test egydimenzi\'os mozg\'as\'at
neh\'ezs\'egi er\H ot\'erben egy f\"ugg\H olegesen, harmonikusan mozg\'o \"utk\"oz\'esi pont
f\"ol\"ott!

\bFL (Kert\'esz J\'anos) \eFL

\item
	Hogyan lehet Pitot-cs\H ovel ny\'{\i}r\'ofesz\"ults\'eget m\'erni?
Adjunk m\'er\'esi utas\'{\i}t\'ast \'araml\'o folyad\'ek eset\'ere (a folyad\'ek fizikai \'alland\'oit
ismerj\"uk)! Vizsg\'aljuk meg a $Re\to\infty$ hat\'aresetet! ($Re$ a Reynolds-sz\'amot jelenti.)
Hogyan tudunk ezek alapj\'an "turbulenciam\'etert" tervezni az \"orv\'enyess\'eg 
m\'er\'es\'ere?

\bFL (Bakucz P\'ter)\eFL

\item
	V\'{\i}zszintes asztallapon nyugv\'o v\'ekony, lapos, homog\'en karik\'ara (v\'ekony = a 
k\"uls\H o \'es a bels\H o k\"or sugar\'anak k\"ul\"onbs\'ege j\'oval kisebb a sugarakn\'al) k\"otelet 
cs\'ev\'el\"unk. A k\"ot\'el v\'eg\'et \'alland\'o nagys\'ag\'u, \'alland\'o ir\'any\'u er\H ovel h\'uzni 
kezdj\"uk. A s\'url\'od\'ast nem hanyagolhatjuk el. Hogyan mozog a karika? Mi a 
helyzet, ha karika helyett homog\'en korongot haszn\'alunk?

\bFL
(Bihary Zsolt)
\eFL

\item
	V\'{\i}zszintes asztallapon $v_0$ kezd\H osebess\'eggel \'es
$\omega_0 = v_0 /R$ kezd\H o
sz\"ogsebess\'eggel \'utj\'ara ind\'{\i}tunk egy f\"ugg\H oleges helyzet\H u, \'es a v\'{\i}zszintes 
szimmetriatengelye k\"or\"ul forg\'u f\'elg\"ombh\'ejat (t\"omege $m$, k\"uls\H o sugara $R$,
bels\H o sugara $r$). A kezd\H osebess\'eg ir\'anya mer\H oleges a
szimmetriatengelyre. A tapad\'asi s\'url\'od\'asi egy\"utthat\'o v\'egtelen nagy.
\'Irjuk le a a mozg\'ast! Milyen a mozg\'as, ha a kezd\H o\'allapotban nem
v\'{\i}zszintes a szimmetriatengely? Van e stacion\'arius mozg\'as, \'es milyen 
kezd\H ofelt\'etelekkel? 

\bFL (Horv\'ath Tibor)\eFL

\item

Egy $R$ sugar\'u, $\rho$ s\H ur\H us\'eg\H u, $l$ hossz\'us\'ag\'u t\"om\"or, merev hengert helyezz\"unk 
bele egy ugyanolyan hossz\'u, $R$ falvastags\'ag\'u, $R$ bels\H o sugar\'u
cs\H obe, majd az eg\'eszet egy hasonl\'o, de $2R$ bels\H o sugar\'u cs\H obe.
Mindh\'arom egys\'eg ugyanolyan anyag\'u, hossz\'us\'ag\'u, \'es \'{\i}gy egy\"utt egy
$3R$ sugar\'u hengerr\'e eg\'esz\'{\i}tik ki egym\'ast, k\"ozt\"uk sem s\'url\'od\'as, sem h\'ezag
nincs. A rendszert a t\'avoli \H ur egy olyan pontj\'aba helyezz\"uk, ahol m\'as testek 
hat\'asa elhanyagolhat\'o. A rendszer kis rezg\'eseket v\'egez egyens\'ulyi helyzete 
k\"or\"ul, \'es lehet, hogy az inerciarendszerhez k\'epest forog is. 
\begin{description}
\item[a/] Milyen rezg\'esi m\'odusok vannak, \'es mekkora a rezg\'esidej\"uk?
Adjunk sz\'am\-szer\H u becsl\'est is a rezg\'esid\H o nagys\'agrendj\'ere!
Itt tegy\"uk fel, hogy a rendszer sz\"ogsebess\'ege z\'erus.
\item[b/] Megm\'erj\"uk az egyik m\'odus rezg\'esidej\'et, \'es \'eszrevessz\"uk, hogy az nem 
egyezik a fent kapott eredm\'ennyel. Kisebb vagy nagyobb lehet? Mit mondhatunk 
ekkor a sz\"ogsebess\'eg-vektorr\'ol?
\item[c/] Mit \'all\'{\i}thatunk a sz\"ogsebess\'eg-vektorr\'ol an\'elk\"ul, hogy megm\'ern\'enk a 
rezg\'es\-id\H ot?
\item[d/] Lehet-e esetleg \'altal\'anos\'{\i}tani a feladatot t\"obb r\'eszb\H ol \'all\'o rendszerre?
\end{description}

\bFL (Veres G\'abor)\eFL

\item
Hossz\'u egye\-nes cs\H o\-ben egy\-m\'as\-t\'ol egyenl\H o t\'a\-vol\-s\'ag\-ra egy\-for\-ma, $m$
t\"o\-me\-g\H u go\-ly\'ok \'all\-nak. Az el\-s\H o go\-ly\'ot \'al\-lan\-d\'o $F$ er\H o\-vel tol\-ni kezd\-j\"uk.
A go\-ly\'ok \"ut\-k\"o\-z\'e\-se $k$ \"ut\-k\"o\-z\'e\-si sz\'am\-mal jel\-le\-mez\-he\-t\H o. A cs\H o fa\-l\'a\-n\'al fel\-l\'e\-p\H o
s\'ur\-l\'o\-d\'as\-t\'ol te\-kint\-s\"unk el.
Mek\-ko\-ra lesz a tolt go\-ly\'o se\-bes\-s\'e\-ge hossz\'u id\H o m\'ul\-va? Mi\-lyen sz\'e\-les a 
ki\-a\-la\-ku\-l\'o l\"o\-k\'es\-hul\-l\'am? Vizs\-g\'al\-juk meg a $k \to 0$ \'es a $k \to 1$
ha\-t\'a\-re\-se\-te\-ket \'es az \'al\-ta\-l\'a\-nos ese\-tet is!


\bFL (Gn\"adig P\'eter) \eFL


\item
	Interkontinent\'alis t\'av\-ve\-ze\-t\'ek

	Magyar m\'er\-n\"o\-k\"ok tha\-i\-f\"ol\-di ta\-nul\-m\'a\-ny\'ut\-juk al\-kal\-m\'a\-val fel\-ta\-l\'al\-t\'ak \'es
ki\-fej\-lesz\-tet\-t\'ek a tet\-sz\H o\-le\-ge\-sen ma\-gas es v\'eg\-te\-le\-n\"ul szi\-l\'ard p\'oz\-n\'at. E 
ta\-l\'al\-m\'a\-nyuk se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel akar\-j\'ak for\-ra\-dal\-ma\-s\'{\i}\-ta\-ni a vi\-l\'ag vil\-la\-mos
h\'a\-l\'o\-za\-t\'at.
\begin{description}
\item[a/] J\'a\-rul\-junk hoz\-za e nagy\-sza\-b\'a\-s\'u terv\-hez, \'{\i}r\-juk fel a g\"omb ala\-k\'u,
moz\-du\-lat\-lan F\"old er\H o\-te\-r\'e\-ben \'er\-v\'e\-nyes l\'anc\-g\"or\-be egyen\-le\-t\'et!
\item[b/] Re\-fe\-ren\-ci\-a\-mun\-ka\-k\'ent a Jar\-vis-szi\-ge\-tet (Csen\-des-\'oce\-\'an) es Ma\-ca\-p\'at
(Bra\-zi\-lia) akar\-j\'ak k\'et p\'oz\-n\'a\-val \"ossze\-k\"ot\-ni \'ugy, hogy a Ga\-l\'a\-pa\-gos-szi\-ge\-tek\-n\'el 
a ve\-ze\-t\'ek \'epp \'erint\-se a F\"old fel\-szi\-n\'et, hogy a benn\-sz\"u\-l\"ot\-tek szo\-ci\-\'a\-lis ala\-pon 
\"uze\-mel\-tet\-hes\-s\'ek vil\-lany\-p\'asz\-to\-ra\-i\-kat.  A Jar\-vis-szi\-get\-re mar fe\-l\'al\-l\'{\i}\-tot\-tak egy 
20~000 km ma\-gas p\'oz\-n\'at. Mek\-ko\-r\'a\-nak kell v\'a\-lasz\-ta\-ni a m\'a\-sik vil\-la\-nyosz\-lop 
ma\-gas\-s\'a\-g\'at? Mi\-lyen hossz\'u ve\-ze\-t\'e\-ket kell hasz\-n\'al\-ni\-uk? (K\"o\-ze\-l\'{\i}\-t\'es, mint az 
a/ pont\-ban, a F\"old sugara 6380 km.)
\item[c/] Egye\-sek fel\-ve\-tet\-t\'ek, hogy a k\"o\-ze\-l\'{\i}\-t\'e\-sek t\'ul\-z\'o\-ak, \'es t\'an m\'eg\-sem 
il\-le\-ne el\-ha\-nya\-gol\-ni a F\"old for\-g\'a\-s\'at. Mi\-lyen jel\-le\-g\H u \'es mek\-ko\-ra ha\-t\'a\-so\-kat okoz 
en\-nek fi\-gye\-lem\-be v\'e\-te\-le?
\item[d/] P\'ot\-k\'er\-d\'es:  mi\-b\H ol k\'e\-sz\'{\i}t\-s\'ek \'es ho\-gyan m\'e\-re\-tez\-z\'ek a ve\-ze\-t\'e\-ket?
\end{description}
\bFL (Feh\'er T\'{\i}tusz)\eFL

\item
	K\"ozhiedelem szerint a F\"old eg\'et egyetlen Nap vil\'ag\'{\i}tja be. \'Am t\"uzetes 
\'es kitart\'o vizsg\'alatok szerint id\H onk\'ent nem egy, hanem h\'arom Napot lehet
l\'atni az \'egbolton. N\'eh\'any szemtan\'u izgatott besz\'amol\'oj\'ab\'ol id\'ezve:
\begin{description}
\item[a/] K\'es\H o d\'elut\'an volt, \'es a Nappal szemben kellett vezetnem, ami el\'egg\'e 
kel\-le\-met\-len. Mik\"ozben a Nap egy felh\H o m\"og\'e ereszkedett, arra lettem figyelmes, 
hogy k\'et m\'asik Nap is megjelenik az \'egen...

\item[b/]  Az aut\'op\'aly\'an haladtunk, kicsit bor\'us volt az id\H o, amikor a felh\H ok\"on
\'atvi\-l\'a\-g\'{\i}\-t\'o Nap mellett k\'et mell\'eknapra lettem figyelmes...
\end{description}
	Mi okozhatja a jelens\'eget?  Sz\'am\'{\i}tsuk ki a mell\'eknapok hely\'et \'es
intenz\'{\i}t\'as\'at!

\bFL (Szab\'o Istv\'an --- Daruka Istv\'an)\eFL

\item
	V\'{\i}zszintes (v\'egtelen nagy) plafonon folyad\'ekcsepp l\'og. Hat\'arozzuk
meg a csepp alakj\'at! Mik a feladat relev\'ans param\'eterei? Milyen min\H os\'egileg
k\"ul\"onb\"oz\H o megold\'asokat v\'arunk? Vizsg\'aljuk meg a hat\'arfelt\'etelek szerep\'et! 
Mi a le\-cs\"op\-pe\-n\'es felt\'etele?

\bFL (Feh\'er T\'{\i}tusz)\eFL

\item
	Egy poh\'arban desztill\'alt v\'{\i}z van. Felsz\'{\i}n\'en \'uszik egy r\'egi t\'{\i}zfill\'eres.
Milyen (s\H ur\H us\'eg\H u) anyagb\'ol lehet a p\'enzdarab?

\bFL (Sass Bal\'azs)\eFL

\item

Mint is\-me\-re\-tes, a gaz\-da\-s\'a\-gi hely\-zet
ke\-m\'e\-nye\-d\'e\-se k\"o\-vet\-kez\-t\'e\-ben a F\"old egy ideje nem tudja 
kifizetni a napenergia-sz\'aml\'at, ez\'ert a szolg\'altat\'ok a Nap
sug\'arz\'as\'at meghat\'rozatlan id\H ore kikapcsolj\'ak, holnapt\'ol egy
fia foton nem sok, annyi sem \'erkezik. Ho\-gyan v\'al\-to\-zik a to\-v\'ab\-bi\-ak\-ban a F\"old h\H o\-m\'er\-s\'ek\-le\-te?
(A l\'eg\-k\"or\-t\H ol, a F\"old for\-g\'a\-s\'a\-t\'ol \'es ha\-son\-l\'o za\-va\-r\'o t\'e\-nye\-z\H ok\-t\H ol
te\-kint\-s\"unk el.)

\bFL (Gn\"adig P\'eter) \eFL

\item

Egy h\H o\-szi\-ge\-te\-l\H o fa\-l\'u, h\H o\-szi\-ge\-te\-l\H o du\-gatty\'u\-val le\-z\'art hen\-gert fe\-le
ma\-gas\-s\'ag\-ban egy szin\-t\'en h\H o\-szi\-ge\-te\-l\H o fal oszt k\'et egy\-for\-ma hen\-ger\-re. A
fa\-lon egyi\-r\'a\-ny\'u, a g\'azt csak a du\-gatty\'u\-t\'ol t\'a\-vo\-lab\-bi tar\-t\'aly\-r\'esz fe\-l\'e 
\'aten\-ge\-d\H o sze\-lep van, amely igen kis nyo\-m\'as\-k\"u\-l\"onb\-s\'eg\-re is meg\-ny\'{\i}\-lik. A 
tar\-t\'aly k\'et r\'e\-sz\'e\-ben kez\-det\-ben egy\-for\-ma mennyi\-s\'e\-g\H u, azo\-nos \'al\-la\-po\-t\'u 
egya\-to\-mos ide\-\'a\-lis g\'az van.
A du\-gatty\'ut las\-san be\-fe\-l\'e tol\-juk, am\'{\i}g csak ne\-ki nem \"ut\-k\"o\-zik a k\'et r\'eszt
el\-v\'a\-lasz\-t\'o fal\-nak.
\begin{description}
\item[a/] Mennyi mun\-k\'at v\'e\-gez\-t\"unk?
\item[b/] \'Ab\-r\'a\-zol\-juk a k\'et tar\-t\'aly\-r\'esz\-ben le\-v\H o g\'az \'al\-la\-po\-t\'a\-nak v\'al\-to\-z\'a\-s\'at a
$p-V$ di\-ag\-ra\-mon!
\end{description}

\bFL (Gn\"a\-dig P\'e\-ter) \eFL

\item
	Mint naponta tapasztaljuk, az \'eg k\'ek sz\'{\i}n\H u. Mi\'ert feh\'erek akkor a felh\H ok?
Honnan "p\'otolj\'ak" a feh\'er sz\'{\i}n kikever\'es\'ehez a spektrumb\'ol hi\'anyz\'o sz\'{\i}neket?
\'Es ha ezt megmagyar\'aztuk, m\'ar csak azt kellene meg\'erten\"unk, hogy mi\'ert 
s\"ot\'etk\'ekek a viharfelh\H ok.

\bFL (Hantz P\'eter) \eFL

\item

A Lorentz-er\H{o} s\H{u}r\H{u}s\'ege CGS m\'ert\'ekrendszerben 
\begin{eqnarray*}
{\bf f} = \rho{\bf E}+\frac{1}{c}{\bf j}\times {\bf B}.
\end{eqnarray*}
Ezt a Maxwell-egyenletek felhaszn\'al\'as\'aval \'atalak\'{\i}tva, line\'aris, 
homog\'en, de nem felt\'etlen\"ul izotr\'op k\"ozegben az al\'abbi alak\'u 
kontinuit\'asi egyenletet \mbox{nyer}\-j\"uk:
\begin{eqnarray*}
-{\bf f} = \frac{\partial {\bf p}}{\partial t} + \mbox{div} {\bf\sf T}.
\end{eqnarray*}
Itt a $\bf p$ vektor impulzuss\H{u}r\H{u}s\'egk\'ent \'es a $\bf\sf T$ tenzor 
impulzus{\-}-\'arams\H{u}r\H{u}s\'egk\'ent \'er\-tel\-mez\-he\-t\H{o}, ezeket 
egyel\H{o}re gondolhatjuk a 
t\'er jellemz\H{o}inek, $-\bf{f}$ pedig a k\"uls\H{o} 
t\"ol\-t\'e\-sek\-re hat\'o Lorentz-er\H{o} visszahat\'asa.  A $\bf p$ \'es 
$\bf\sf T$ 
formul\'ait az $\bf E$, $\bf D$, $\bf H$ \'es $\bf B$ terek 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel el\H{o}sz\"or 
Minkowski \'{\i}rta fel, ezeket tank\"onyvekben is megtal\'alhatjuk. Vegy\"uk 
\'eszre, hogy $\bf\sf T$ anizotr\'op k\"ozegben nem szimmetrikus. 

Nom\'armost, \'{\i}rjuk fel a t\'er ${\bf r}\times{\bf p}$ 
impulzusmomentum{\-}-s\H{u}r\H{u}s\'eg\'enek 
m\'erleg\'et.  Mutassuk meg, hogy a Lorentz-er\H{o} j\'arul\'ek\'an  
k\'{\i}v\"uli forgat\'onyomat\'ek{\-}-s\H{u}r\H{u}s\'eg anizotr\'op k\"ozegben 
nem \'all el\H{o} divergencia alakj\'aban.  Hozzuk a fel\"uleti integr\'all\'a 
nem alak\'{\i}that\'o
tagot a dielektromos ill.\ m\'agneses polariz\'aci\'o 
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel 
egyszer\H{u} form\'ara. Milyen j\'ol ismert eredet\H{u} forgat\'onyomat\'ekok 
jelennek meg a m\'erlegegyenletben?  Mindezek alapj\'an mit gondolunk,
$\bf p$ \'es ${\bf r}\times{\bf p}$ val\'oban rendre az elektrom\'agneses t\'er 
impulzus- \'es impulzusmomentum{\-}{-}s\H{u}r\H{u}s\'ege? 

\bFL (Gy\"orgyi G\'eza) \eFL

\item
G\"omb\-fe\-l\"u\-le\-ten $n$ egy\-for\-ma t\"ol\-t\"ott r\'e\-szecs\-ke he\-lyez\-ke\-dik el. Ha\-t\'a\-roz\-zuk
meg az egyen\-s\'u\-lyi kon\-fi\-gu\-r\'a\-ci\-\'ot min\-den $n$-re ($n \leq 20$)!

\bFL (Gn\"adig P\'e\-ter) \eFL

\item

A relativisztikus esethez hasonl\'{o}an nemrelativisztikus esetben is
be\-ve\-zet\-he\-t\H{o}\-ek a n\'{e}gyes vektorok, tenzorok, kovektorok, kotenzorok,
stb.  Ezek a mennyi\-s\'{e}gek a Galilei-transzform\'{a}ci\'{o}kra
viselkednek kovari\'{a}nsan. Milyen n\'{e}gyes mennyis\'{e}g
konstru\'{a}lhat\'{o} a h\'{a}rmas sebess\'{e}gb\H{o}l, a h\'{a}rmas
gyorsul\'{a}sb\'{o}l, a h\'{a}rmas er\H{o}b\H{o}l, a mozg\'{a}si
energi\'{a}b\'{o}l? A mozg\'{a}si energi\'{a}b\'{o}l kapott n\'{e}gyes
mennyis\'{e}g seg\'{\i}ts\'{e}g\'{e}vel \'{a}ll\'{\i}tsunk fel egy, a
Newton-egyenlettel ekvivalens mozg\'{a}segyenletet. Milyen
hasonl\'{o}s\'{a}gok \'{e}s milyen elt\'{e}r\'{e}sek fedezhet\H{o}ek
f\"{o}l a mozg\'{a}si energi\'{a}hoz tartoz\'{o} n\'{e}gyes mennyis\'{e}g
\'{e}s a relativisztikus energia-lend\"{u}let n\'{e}gyes vektor, illetve
az \'{a}ltalunk fel\'{a}ll\'{\i}tott egyenlet \'{e}s relativisztikus
Newton-egyenlet k\"{o}z\"{o}tt? 

Szorgalmi feladat: oldjuk meg a feladatot a nemrelativisztikus
t\'{e}rid\H{o}modell eszk\"{o}zeivel is (aj\'{a}nlott irodalom: T.
Matolcsi: Spacetime without reference frames, Akad\'{e}miai Kiad\'{o}, Bp.
1993).

\bFL (F\"ul\"op Tam\'as) \eFL

\item

A spe\-ci\-\'a\-lis re\-la\-ti\-vi\-t\'a\-sel\-m\'e\-let sze\-rint egy moz\-g\'o \H ur\-ha\-j\'o\-ban las\-sa\-ban
m\'u\-lik az id\H o. Az \'al\-ta\-l\'a\-nos re\-la\-ti\-v\'{\i}\-t\'a\-sel\-m\'e\-let sze\-rint vi\-szont a
gra\-vi\-t\'a\-ci\-\'os t\'er las\-s\'{\i}t\-ja az id\H o m\'u\-l\'a\-s\'at, te\-h\'at a F\"old gra\-vi\-t\'a\-ci\-\'os
k\'ut\-j\'a\-b\'ol ki\-e\-mel\-ke\-d\H o ra\-k\'e\-t\'a\-ban az
\'or\'ak gyor\-sab\-ban j\'ar\-nak. A Richard Feynmanr\'ol
el\-ne\-ve\-zett lo\-pa\-ko\-d\'o \H ur\-ha\-j\'o azt a fe\-la\-da\-tot kap\-ta, hogy f\"ol\-di b\'a\-zi\-s\'a\-r\'ol 
su\-g\'a\-ri\-r\'any\-ban fel\-sz\'all\-va f\"ol\-di id\H o sze\-rint pon\-to\-san egy nap m\'ul\-va t\'er\-jen 
vissza ugya\-no\-da \'ugy, hogy az \H ur\-ha\-j\'o \'or\'ai a fi\-zi\-ka\-i\-lag le\-het\-s\'e\-ges
leg\-t\"obb el\-telt id\H ot mu\-tas\-s\'ak. Ho\-gyan kell a ka\-pi\-t\'any\-nak m\H u\-k\"od\-tet\-nie a 
haj\-t\'o\-m\H u\-ve\-ket, ha tel\-je\-s\'{\i}\-te\-ni akar\-ja a fe\-la\-da\-tot? (A ra\-k\'e\-ta v\'e\-gig 
su\-g\'a\-ri\-r\'any\-ban mo\-zog, a F\"old ke\-rin\-g\'e\-s\'e\-t\H ol \'es a l\'eg\-k\"or za\-va\-r\'o ha\-t\'a\-s\'a\-t\'ol 
te\-kint\-s\"unk el.) 

\bFL (Gn\"adig P\'eter) \eFL

\item

	George Deley, a neves m\'agneses, s\H ot param\'agneses szakember k\'et \'evet t\"ol\-t\"ott az \H ur\-ben, hogy ki\-csa\-tol\-ja a
v\'a\-ku\-um-rez\-g\'e\-se\-ket, ami\-kor r\'a\-j\"ott, hogy a F\"old fel\-sz\'{\i}\-ne sok\-kal kel\-le\-me\-sebb
hely. Most a F\"old m\'ag\-ne\-ses te\-r\'et akar\-ja meg\-csa\-pol\-ni, ez\'ert $1\rm\,cm^2$
ke\-reszt\-met\-sze\-t\H u alu\-mi\-ni\-um\-hu\-zal\-b\'ol $1\rm\,km$ ol\-dal\-hossz\'u\-s\'a\-g\'u n\'egy\-ze\-tet
fek\-te\-tett le Bu\-da\-pes\-ten ($\rho_{Al}=0.03 \rm\,\Omega mm^2/m$). Tegy\"uk fel,
hogy a F\"old m\'agneses tere dip\'olussal helyettes\'{\i}thet\H o, amely a F\"old
k\"oz\'eppontj\'aban van, 20 fokot z\'ar be a forg\'asi tengellyel, \'es az
\'Eszaki-sarkn\'al a m\'agneses indukci\'o $10^{-4}\rm\,T$.
\begin{description}
\item[a/] Mennyi energi\'at tud \'{\i}gy kicsatolni George egy nap alatt? Fenyeget-e 
\"okol\'ogiai katasztr\'ofaval, ha Budapest minden lakosa egy ilyen hurok \'aram\'aval 
eg\'esz\'{\i}ti ki energiasz\"uks\'eglet\'et?
\item[b/] George v\'erszemet kapott, a F\"old egy f\H ok\"or\'en \'at akar vezet\'eket
fektetni. Melyik f\H ok\"ort c\'elszer\H u v\'alasztania?
\end{description}

\bFL ( Feh\'er Titusz) \eFL

\item
	Egy $\mu$ m\'agneses dip\'olus ($\mu > 0$) mozog ${\bf B}({\bf r})$ sztatikus, forr\'asmentes 
m\'agneses t\'erben. A mozg\'o dip\'olus ir\'anya adiabatikusan k\"oveti a lok\'alis 
teret, vagyis minden pillanatban azzal azonos ir\'anyba mutat.
	Csapd\'aba lehet-e ejteni a dip\'olust, azaz l\'etezhet-e olyan  ${\bf B}({\bf r})$ t\'er, 
amelyben van stabil egyens\'ulyi helyzete a dip\'olusnak? 

\bFL (Domokos P\'eter) \eFL

\item
	Mint k\"o\-zis\-mert, a t\'a\-vol\-s\'ag\-gal ar\'a\-nyos von\-z\'o er\H o\-t\'er\-ben moz\-g\'o 
r\'e\-szecs\-ke, azaz  a(z egy\-di\-men\-zi\-\'os)  har\-mo\-ni\-kus osz\-cil\-l\'a\-tor Ha\-mil\-ton-ope\-r\'a\-to\-ra 
szim\-met\-ri\-kus \'es \"onad\-jun\-g\'alt is. Vizs\-g\'al\-juk meg most a t\'a\-vol\-s\'ag\-gal ar\'a\-nyos 
ta\-sz\'{\i}\-t\'o er\H o\-t\'er\-ben moz\-g\'o r\'e\-szecs\-ke kvan\-tu\-me\-cha\-ni\-kai prob\-l\'e\-m\'a\-j\'at! L\'as\-suk be, 
hogy en\-nek Ha\-mil\-ton-ope\-r\'a\-to\-ra szim\-met\-ri\-kus, de nem \"onad\-jun\-g\'alt! Mi\-lyen 
(a hul\-l\'am\-f\"ugg\-v\'eny v\'eg\-te\-lenbe\-li vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'e\-re vo\-nat\-ko\-z\'o) ha\-t\'ar\-fel\-t\'e\-te\-lek 
meg\-k\"o\-ve\-te\-l\'e\-s\'e\-vel (azaz a Hil\-bert-t\'er milyen le\-sz\H u\-k\'{\i}\-t\'e\-s\'e\-vel) te\-het\-j\"uk \"onad\-jun\-g\'alt\-t\'a 
a Ha\-mil\-ton-ope\-r\'a\-tort? H\'any ilyen le\-he\-t\H o\-s\'e\-g\"unk van? Old\-juk meg a 
Schr\"o\-din\-ger-egyen\-le\-tet, ha\-t\'a\-roz\-zuk meg az ener\-gi\-as\-pekt\-ru\-mot \'es az 
ener\-gia-sa\-j\'at\-f\"ugg\-v\'e\-nye\-ket!

\bFL (Bajnok Zolt\'an) \eFL

\item

L\'ezerf\'ennyel \'all\'ohull\'amokat hozunk l\'etre. Az elektromos t\'er
\begin{eqnarray}
{\bf E} = {\bf E}_0(x)\cos\left(k\,z\right)\cos\left(\omega\,t\right)\,.\nonumber
\end{eqnarray}
Az $x$ ir\'anyb\'ol s\'{\i}khull\'ammal le\'{\i}rhat\'o
atomnyal\'abot ejt\"unk az \'all\'ohull\'amokra. Az atomok egyform\'ak,
kezdetben alap\'allapotban vannak, \'es a l\'ezerf\'eny $\omega$ frekvenci\'aja
k\"ozel van az els\H o gerjesztett \'allapotukba val\'o \'atmenet
frekvenci\'aj\'ahoz. 

Sz\'am\'{\i}tsuk ki nagy t\'avols\'agban az atomok \'altal kirajzolt 
elhajl\'asi k\'epet,
felt\'eve, hogy az atomi \'allapotok adiabatikusan v\'altoznak 
az \'all\'ohull\'amokon val\'o \'athalad\'as sor\'an. Milyen 
felt\'etelek mellett \'erv\'enyes ez a k\"ozel\'{\i}t\'es?

\bFL (Bene Gyula) \eFL

\item
	Vizsg\'aljuk meg a t\'agul\'o fotong\'az h\'arom k\"ul\"onb\"oz\H o eset\'eben fell\'ep\H o 
ter\-mo\-di\-na\-mi\-kai v\'altoz\'asok k\"ozti hasonl\'os\'agokat \'es k\"ul\"onbs\'egeket!
\begin{description}
\item[a/] Dobozba z\'art fotong\'az: Ha egy t\"ukr\"oz\H o fal\'u tart\'alyba elektrom\'agneses 
sug\'arz\'ast z\'arunk, \'es a tart\'aly falait lassan elmozd\'{\i}tva n\"ovelj\"uk a t\'erfogatot, 
a mozg\'o falon visszaver\H od\H o elektrom\'agneses hull\'amok Doppler-eltol\'od\'ast 
szenvednek, \'es \'{\i}gy a spektrum lassan megv\'altozik. Ha a sug\'arz\'as eredetileg 
Planck-eloszl\'ast k\"ovetett, akkor a megv\'altozott spektrum egy m\'as h\H om\'ers\'eklet\H u 
Planck-g\"orb\'enek felel meg. ¨gy \'{\i}rhatjuk le a dobozba z\'art fotong\'az adiabatikus 
t\'agul\'as\'at. Vizsg\'aljuk meg a folyamat r\'eszleteit, \'es hat\'arozzuk meg a fotong\'az 
t\'erfogata \'es h\H om\'ers\'eklete k\"oz\"otti \"osszef\"ugg\'est!
\item[b/] Az \H urben szabadon terjed\H o fotong\'az: P\'elda erre a Nap fotoszf\'er\'aj\'anak 
kb. 6000~K h\H om\'ers\'eklet\H u anyag\'aval egyens\'ulyban lev\H o elektrom\'agneses sug\'arz\'as, 
amely a Nap felsz\'{\i}n\'et elhagyva eredeti t\'erfogat\'at jelent\H osen megn\"oveli. 
Mekkora lesz a sug\'arz\'as h\H om\'ers\'eklete, mire a F\"oldre \'er? Mekkora lenne a F\"old
\'atlagh\H om\'ers\'eklete, ha nem lenne l\'egk\"ore (a l\'egk\"or \"uvegh\'azhat\'asa bonyol\'{\i}tja a
k\'epet)?
\item[c/] Kozmikus h\'att\'ersug\'arz\'as: A kozmol\'ogia szerint a t\'agul\'o vil\'agegyetemben is
hasonl\'o folyamat megy v\'egbe: a hajdani \H osrobban\'as visszf\'enyek\'ent fennmaradt, 
eredetileg a t\"obbi anyagfajt\'aval termikus egyen\-s\'uly\-ban volt fotong\'az termikus 
lecsatol\'od\'asa \'ota \'alland\'oan t\'agul \'es h\H ul. A folyamat els\H o pillant\'asra a b/ 
alattihoz hasonl\'{\i}t. A kozmol\'ogusok azonban azt \'all\'{\i}tj\'ak, hogy a sug\'arz\'as 
spektruma minden pillanatban a Planck-g\"orb\'et k\"oveti, monoton cs\"okken\H o 
h\H om\'ers\'eklettel, \'es a fotong\'az adiabatikus t\'agul\'as\'ar\'ol besz\'elnek, ak\'arcsak az 
a/ p\'eld\'aban. Ebben az esetben azonban semmif\'ele visszaver\H od\'esi folyamat nem 
magyar\'azza az egyes hull\'amok Doppler-eltol\'od\'as\'at. Hogyan lehets\'eges teh\'at az, 
hogy a fotong\'az mindig j\'ol meghat\'arozott h\H om\'ers\'eklettel jellemezhet\H o 
\'allapotokon \'at folytatja adiabatikus t\'agul\'as\'at? Milyen anyaggal van termikus 
egyens\'ulyban a sug\'arz\'as? 
\end{description}
	Sherlock Holmes j\'o tan\'{\i}tv\'anyak\'ent keress\"unk valami szimmetri\'at a jelens\'eg 
h\'atter\'eben! Mi lenne a helyzet, ha a fotonnak v\'eges - nem nulla - nyugalmi 
t\"omege lenne? 

\bFL (D\'avid Gyula --- Hantz P\'eter) \eFL

\item
	Indiana Jones jr.\/ a m\'ult h\'eten a Garay t\'eri piacon j\'art. Itt 
tal\'alkozott J. B. Curcassal, a messewani egyetem kutat\'oj\'aval, aki \"or\"ommel
mutatta neki az Atlantiszr\'ol hozott legbecsesebb leletet: egy \"uvegszem\H u 
ker\'amia-kentaurt. Jones k\'etked\H o szavaira v\'alaszul elmondta, hogy a szobor
ker\'amia-fark\'ab\'ol let\"ort kis darabot ter\-mo\-lu\-mi\-nesz\-cen\-cia-vizsg\'alatnak vetett\'ek
al\'a --- \'es a vizsg\'alat egy\'ertelm\H uen bizony\'{\i}totta, hogy a lelet legalabb
11~000 \'eves. Jonest a szobor jellegzetes vigyora ink\'abb a h\'{\i}res m\'at\'eszalkai 
m\H ut\'argy-hamis\'{\i}t\'o maffia term\'ekeire eml\'ekeztette --- no de hogy sz\'allhatna
szembe az egzakt fizikai kormeghat\'aroz\'asi m\'odszer ny\'ujtotta adatokkal? Ez\'ert
ezennel fizikus bar\'ataihoz fordul: seg\'{\i}tsenek az esetleges mesters\'eges,
a termolumineszcens m\'odszert becsapni k\'epes \"oreg\'{\i}t\'esi elj\'ar\'as leleplez\'es\'eben.
Jutalmul h\'arom tucat eredeti gondwanai \'es lemuriai --- agyagb\'ol k\'esz\"ult ---
floppylemezt aj\'anl fel.

\bFL (Szalay Tam\'as --- D\'avid Gyula) \eFL

\item
	Adott egy v\'egtelen, egydimenzi\'os krist\'aly $a$ r\'acs\'alland\'oval, elemi cell\'ank\'ent 
egy atommal. Tudjuk, hogy a rend\-szert lok\'alis f\"uggv\'enyek \'{\i}rj\'ak j\'ol le (pl. 
ionos krist\'aly). Kv\'azi-k\"ot\"ott elektron (tight binding) k\'epben gondolkozunk. 
Egy r\"ogz\'{\i}tett s\'avban a $0$-dik helyen lev\H o atom \'es az $n$-dik szomsz\'ed 
hull\'amf\"uggv\'eny\'ere az \'atfed\'esi integr\'al \'ert\'eke $s^n$, m\'{\i}g a k\"olcs\"onhat\'asi m\'atrixelem 
ugyanezen k\'et hely k\"oz\"ott $Au^n$ ($A=$\'alland\'o). Az atomi megold\'asn\'al csak az 
$E_0$ energi\'ara szor\'{\i}tkozunk. A szil\'ardtestfizikai sz\'am\'{\i}t\'asok sor\'an a matematikai
egyszer\H us\'eg miatt sok esetben v\'eges sz\'am\'u elemi cell\'ara alkalmazzuk a 
periodikus hat\'arfelt\'etelt. Ha a peri\'oduson bel\"ul $2N+1$ elemi cell\'ank van, 
adott $s$ \'es $u$ mellett adjuk meg azt a legkisebb $N$-et, amire a v\'eges periodikus 
hat\'arfelt\'etel m\'eg jogos k\"ozel\'{\i}t\'es (a s\'av m\'eg nem torzul jelent\H osen)!
\bFL (Miro J\'ozsef) \eFL

\item
	Egy k\'epzeletbeli anyag molekul\'ai egyszer\H u k\"ob\"os r\'acsban krist\'alyosodnak, a 
molekul\'ak els\H o szomsz\'edjukhoz hidrog\'enh\'{\i}d-k\"ot\'esekkel k\"ot\H odnek. K\'et els\H o 
szomsz\'ed molekula k\"ot\'esi energi\'aja $-V$, a k\"oz\"ott\"uk lev\H o hidrog\'enatom pedig  
$\omega$  frekvenci\'aval rezeg.
Vizsg\'aljuk a krist\'aly $(100)$ szabad fel\"ulet\'et! A fel\"ulet egy mikro\'allapot\'at 
azzal jellemezhetj\"uk, hogy a k\"uls\H o krist\'alys\'{\i}k egyes r\'acspontjaiban vannak-e 
vagy nincsenek-e molekul\'ak. 
Mutassuk meg, hogy a fel\"ulet statisztikus fizikai szempontb\'ol anal\'og a k\'etdimenzi\'os Ising-modellel! Mekkora a kritikus h\H om\'ers\'eklet? 
Milyen jelleg\H u \'allapotok felelnek meg az Ising-modell ferrom\'agneses, illetve 
param\'agneses \'allapot\'anak?

\bFL (V\'egs\H o Andr\'as eml\'ek\'ere kit\H uzte Bihary Zsolt) \eFL

\item

Tekints\"uk v\'akuumban az al\'abbi szabad 
${\cal L}_0$ Lagrange f\"uggv\'eny \'altal le\'{\i}rt skal\'ar\-te\-ret: 
\begin{equation}
{\cal L}_0 = \frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi(x)\partial^{\mu}\phi(x)
-\frac{1}{2}m_0^2 \phi^2(x),
\end{equation}
ahol $m_0$  a $\phi(x)$ skal\'art\'er v\'akuumbeli t\"omege.

Ha a teret egy $T \ge T_0$ h\H om\'ers\'ekletre meleg\'{\i}tj\"uk,
akkor a $\phi$ t\'er t\"omege m\'odosul, amit az \'atlagt\'er 
k\"ozel\'{\i}t\'esben az al\'abbi k\"ozegbeli ${\cal L}_M$
 Lagrange-f\"uggv\'eny jellemez:

\begin{equation}\label{lmed}
{\cal L}_M = \frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi(x)\partial^{\mu}\phi(x)
-\frac{1}{2}m_1^2 \phi^2(x).
\end{equation}
Tegy\"uk fel, hogy a k\"ozegbeli Lagrange-f\"uggv\'eny (\ref{lmed})
kvantumai termaliz\'altak, majd $T = T_0$ h\H om\'ers\'ekleten
a t\'er kifagy, azaz l\'etrej\"onnek   a szabad, v\'akuumbeli kvantumok.
Jellemezz\"uk a v\'akuumbeli egyr\'eszecske impulzus-eloszl\'asokat \'es a
k\'etr\'eszecs\-ke impulzus-eloszl\'asban fell\'ep\H o Bose-Einstein
korrel\'aci\'okat!

\bFL (Cs\"org\H o Tam\'as) \\
A feladat kit\H uz\H oje a legjobb megold\'onak \\ 
5000 Ft k\"ul\"ond\'{\i}jat aj\'anlott fel. \eFL 

\item
	M\'o\-do\-s\'{\i}t\-suk a j\'ol is\-mert k\'et\-di\-men\-zi\-\'os $\phi^4$ el\-m\'e\-let Lag\-ran\-ge-s\H u\-r\H u\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et 
egy $\phi$-ben ha\-tod\-fo\-k\'u tag\-gal \'ugy, hogy az \'uj el\-m\'e\-let\-ben fag\-r\'af-szin\-ten ne 
for\-dul\-jon el\H o k\'et\-r\'e\-szecs\-ke $\Rightarrow$ n\'egy\-r\'e\-szecs\-ke \'ata\-la\-ku\-l\'as! Ho\-gyan kell eh\-hez
meg\-v\'a\-lasz\-ta\-ni a ha\-tod\-fo\-k\'u tag egy\"utt\-ha\-t\'o\-j\'at? Ezu\-t\'an ve\-gy\"unk hoz\-z\'a a 
Lag\-ran\-ge-f\"ugg\-v\'eny\-hez egy (meg\-fe\-le\-l\H o egy\"utt\-ha\-t\'o\-j\'u) nyol\-cad\-fo\-k\'u ta\-got, hogy
(to\-v\'abb\-ra is fag\-r\'af szin\-ten) az el\H ob\-bi mel\-lett k\'et\-r\'e\-szecs\-ke  $\Rightarrow$ hat\-r\'e\-szecs\-ke
\'at\-me\-ne\-tek se le\-gye\-nek! Foly\-tas\-suk az el\-j\'a\-r\'ast \'ujabb ma\-ga\-sabb ren\-d\H u ta\-gok
hoz\-z\'a\-v\'e\-te\-l\'e\-vel, sor\-ban ki\-irt\-va a k\'et\-r\'e\-szecs\-ke  $\Rightarrow$ $2n$-r\'e\-szecs\-ke \'at\-me\-ne\-te\-ket!
Kon\-ver\-gens-e az el\-j\'a\-r\'as? Me\-lyik el\-m\'e\-let sor\-fej\-tett alak\-j\'at kap\-juk \'{\i}gy meg?

\bFL (Bajnok Zolt\'an) \eFL

\item
	A termionok olyan r\'eszecsk\'k, amelyek igen gyorsan felveszik a k\"ornyezet
h\H o merseklet\'et. Boltzmann szerint $E=kT$, Einstein szerint $E=mc^2$, sz\'oval 
a termionok t\"mege mindig ar\'nyos a k\"ornyezet lok\'lis h\H om\'ers\'ek;et\'evel.
Ezt nem kell bebizony\'itani, ezt egyszer\H uen el kell hinni.

	A termionoknak h\'arom fajt\'aja van. A forronok szeretik a meleget, ez\'rt
r\'ajuk a h\H m\'ers\'eklet gradiens\'evel ar\'anyos er\H o hat. A vacogonok 
ezzel szemben hidegkedvel\H ok, ez\'rt a r\'ajuk hat\'o er\H o az el\H obbivel
ellent\'etes ir\'any\'u, b\'ar nagys\'agra megegyez\H o. A temperonok a szelid,
langyos vid\'eket kedvelik, ez\'rt r\'ajuk a sebess\'g\"k \'s a h\H om\'ers\'eklet-gradiens 
vektori\'alis szorzat\'aval ar\'anyos er\H o hat. (A sz\'mol\'s sor\'n fell\'p\" 
ig\'enyeknek megfelel\H oen tov\'abbi alt\'{\i}pusokat is defini\'alhatunk.)

	Vizsg\'aljuk meg a termionok mozg\'as\'at id\H oben \'alland\'o, de t\'erben
nem homog\'en h\H om\'ers\'eklet-mez\H oben! \'Irjuk fel a termionok k\"ul\"onb\"oz\H o 
t\'{\i}pusaira vonatkoz\'o mozg\'asegyenleteket! (Javaslat: a sebess\'egdimenzi\'oj\'u 
konstans param\'eterek r\"ovid\'{\i}t\'es\'ere haszn\'aljuk a $c$ bet\H ut!) 
Vizsg\'aljuk meg az energia-, az impulzus- \'es az impulzusmomentum megmarad\'asi 
t\'eteleinek termionokra vonatkoz\'o alakjait! 

Fejezz\"uk ki a mozg\'segyenletekb\H ol a gyorsul\'st! Mikor p\'arhuzamos 
a gyorsul\'as az er\H ovel?

Fejezz\"uk ki a megmarad\'asi t\'etelek seg\'{\i}ts\'eg\'evel a sebess\'eget a
helykoordin\'ata f\"uggv\'eny\'eben! Vannak-e a t\'ernek olyan tartom\'anyai, ahov\'a 
a termionok k\"ul\"onb\"oz\H o fajt\'ai soha sem juthatnak el?

\'Irjuk le a mozg\'as lefoly\'as\'at n\'eh\'any \'erdekes esetben! Pl.: homog\'n 
vagy egy koordi'ata ment\'en exponenci\'alisan v\'altoz\'o h\H om\'ers\'ekletgradiens 
esete, termionok kering\'ese forr\'o csillag k\"or\"ul vagy hideg csillag forr\'o 
l\'egk\"or\'eben, stb.!

P\'otk\'erd\'s: nem eml\'ekeztet valamelyik termion-fajta mozg\'asa egy fizikai 
tanulm\'anyainkb\'ol ismer\H os esetre? H\'t a t\"obbi fajt\'at hov\'a tegy\"uk?

\bFL (D\'avid Gyula) \eFL

\end{enumerate}


{\tt $\backslash$end\{document\} }

\end{document}